Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa các hệ thức: \(\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NA} + 2\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Xét \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} \)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {MN} = 3\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} \) (1)

Xét \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BP} = 2\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \)

\( = 2\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right) = 2\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} \)

\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MP} = 3\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} \)

Từ (1) và (2) suy ra \(3\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {MP} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MP} \).

Từ đây ta có: \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {MP} \).

Do đó điểm M, N, P thẳng hàng.