Tính tổng min và max của hàm số: \[y = \sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {4 - {x^2}} \].

ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2.

Đặt \(\sqrt {x + 2}  = a;\sqrt {2 - x} = b\) (a, b ≥ 0).

\( \Rightarrow \) a² + b² = 4.

Ta có: y = a + b + 2ab.

• Tìm min:

\(y = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} + 2ab = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab} + 2ab\)\( = \sqrt {4 + 2ab} + ab\).

Vì a, b ∈ [0; 2] ⇒ ab ≥ 0.

\( \Rightarrow \)\[y \ge \sqrt {4 + 0} + 0 \Leftrightarrow y \ge 2\].

Vậy y_min = 2 ⇔ ab = 0 ⇔ x = ± 2.

• Tìm max:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow y \le a + b + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\) (1)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

a² + b² ≥ 2ab ⇔ 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

⇔ (a + b)² ≤ 8 \( \Rightarrow a + b \le 2\sqrt 2 \) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow y \le 2\sqrt 2 + \frac{8}{2} = 4 + 2\sqrt 2 \)

Do đó y_max \( = 4 + 2\sqrt 2 \).

Dấu “=” xảy ra khi a = b \( \Leftrightarrow \sqrt {2 + x} = \sqrt {2 - x} \Leftrightarrow x = 0\).

Vậy y_max + y_min =\(2 + 4 + 2\sqrt 2 = 6 + 2\sqrt 2 \).