Tính tổng min và max của hàm số: \[y = \sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {4 - {x^2}} \].
Tính tổng min và max của hàm số: \[y = \sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt {4 - {x^2}} \].
Quảng cáo
Trả lời:

ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ 2.
Đặt \(\sqrt {x + 2} = a;\sqrt {2 - x} = b\) (a, b ≥ 0).
\( \Rightarrow \) a2 + b2 = 4.
Ta có: y = a + b + 2ab.
• Tìm min:
\(y = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} + 2ab = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab} + 2ab\)\( = \sqrt {4 + 2ab} + ab\).
Vì a, b ∈ [0; 2] ⇒ ab ≥ 0.
\( \Rightarrow \)\[y \ge \sqrt {4 + 0} + 0 \Leftrightarrow y \ge 2\].
Vậy ymin = 2 ⇔ ab = 0 ⇔ x = ± 2.
• Tìm max:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow y \le a + b + \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\) (1)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
a2 + b2 ≥ 2ab ⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
⇔ (a + b)2 ≤ 8 \( \Rightarrow a + b \le 2\sqrt 2 \) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow y \le 2\sqrt 2 + \frac{8}{2} = 4 + 2\sqrt 2 \)
Do đó ymax \( = 4 + 2\sqrt 2 \).
Dấu “=” xảy ra khi a = b \( \Leftrightarrow \sqrt {2 + x} = \sqrt {2 - x} \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy ymax + ymin =\(2 + 4 + 2\sqrt 2 = 6 + 2\sqrt 2 \).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 720;
B. 1440;
C. 18 720;
D. 40 320.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
• TH1. Ông An đứng ở đầu hàng, bà An đứng ở cuối hàng và 6 người con đứng ở giữa.
Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.
• TH2. Ông An đứng ở cuối, bà An đứng ở đầu hàng và 6 người con đứng ở giữa.
Khi đó có tất cả 6! cách sắp xếp.
Số cách xếp hàng khác nhau nếu ông hay bà An đứng ở đầu hoặc cuối hàng là:
2 . 6! = 2 . 720 = 1 440 (cách)
Vậy có 1 440 cách cần tìm.
Lời giải
Với A = (m – 1; 4], B = (−2; 2m + 2) là các tập khác tập rỗng, ta có điều kiện:
\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 4\\2m + 2 > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\m > - 2\end{array} \right.\)⇔ −2 < m < 5 (*)
a) Ta có: A ∩ B = Ø ⇔ m – 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3.
So sánh với điều kiện (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu là: −2 < m < 5.
b) A ⊂ B \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge - 2\\2m + 2 > 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\).
So sánh với điều kiện (*) ta có các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1 < m < 5.
c) B ⊂ A \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le - 2\\2m + 2 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 1\).
So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: −2 < m ≤ −1.
d) (A ∩ B) ⊂ (−1; 3) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge - 1\\2m + 2 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{2}\) (*).
Vậy với \(0 \le m \le \frac{1}{2}\) thoản mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3
A. 39;
B. 26;
C. 29;
D. 36.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{{115}}{{396}}\);
B. \(\frac{{18}}{{35}}\);
C. \(\frac{1}{{30}}\);
D. \(\frac{2}{{30}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.