Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 1)x + m – 1 (d). Tìm m để khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) là \(\sqrt 3 \).

Ta có y = (2m – 1)x + m – 1 (d).

Điều kiện 2m – 1 ≠ 0 \(m \ne \frac{1}{2}\).

Gọi A là giao điểm của (d) và Ox \( \Rightarrow A\left( {\frac{{ - m + 1}}{{2m - 1}};0} \right)\).

Gọi B là giao điểm của (d) và Oy nên B(0; m – 1).

Gọi H là chân đường cao kẻ từ O xuống (d).

Để khoảng cách từ O đến (d) bằng \(\sqrt 3 \) thì \(OH = \sqrt 3 \).

Khi đó \(OA = \left| {\frac{{ - m + 1}}{{2m - 1}}} \right|\); OB = |m – 1|.

Xét \(\Delta \)OAB vuông tại O, đường cao AH có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{ - m + 1}}{{2m - 1}}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\) (điều kiện: m ≠ 1).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{{4{m^2} - 4m + 1 + 1}}{{{m^2} - 2m + 1}}\)

⇔ m² – 2m + 1 = 12m² – 12m + 6

⇔ 11m² – 10m + 5 = 0

⇔ \(11\left( {{m^2} - 2\frac{5}{{11}}m + \frac{{25}}{{121}}} \right) = \frac{{30}}{{11}} = 0\)

\[ \Leftrightarrow 11{\left( {m - \frac{5}{{11}}} \right)^2} + \frac{{30}}{{11}} = 0\] (vô nghiệm).

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn khoảng cách từ O đến (d) bằng \(\sqrt 3 \).