Câu hỏi:
16/05/2023 267
Cho a, b ∈ ℝ thỏa mãn \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = \frac{9}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} \).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = \frac{9}{4}\)
\( \Leftrightarrow a + b + ab + 1 = \frac{9}{4}\)
\( \Leftrightarrow a + b + ab = \frac{4}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có
a2 + b2 ≥ 2ab
\[{{\rm{a}}^2} + \frac{1}{4} \ge 2.a.\frac{1}{2} = a\]
\[{b^2} + \frac{1}{4} \ge 2.b.\frac{1}{2} = b\]
Suy ra \[{{\rm{a}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^2}{\rm{ + 2}}\left( {{{\rm{a}}^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{b^2} + \frac{1}{4}} \right) \ge 2ab + 2{\rm{a}} + 2b\]
⇔ 3(a2 + b2) + 1 ≥ 2(a + b + ab)
\( \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2.\frac{5}{4} - 1 = \frac{3}{2}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Min – cốp – ski ta có
\(P = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {{a^2}} \right)}^2}} + \sqrt {{1^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \ge \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right) + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \)
\[ \Leftrightarrow P \ge \sqrt {4 + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \]
\( \Leftrightarrow P \ge \sqrt {4 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow P \ge \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)
Dấu “ = ” xảy ra khi \[{\rm{a}} = b = \frac{1}{2}\]
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{\sqrt {17} }}{2}\) khi \[{\rm{a}} = b = \frac{1}{2}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Muốn nhân hai lũy thừa khác cơ số và khác cả số mũ ta phải làm sao?
Xem đáp án »
13/07/2024
8,355
Câu 3:
Rút gọn biểu thức:
A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1).
Rút gọn biểu thức:
A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1).
Xem đáp án »
13/07/2024
2,744
Câu 4:
Để đánh số trang của một quyển sách dày 250 trang người ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số?
Xem đáp án »
16/05/2023
2,076
Câu 5:
Một đàn gà có 200 con gà, trong đó có 106 con gà trống. Tỉ số phần trăm số gà mái và tổng số gà là bao nhiêu?
Một đàn gà có 200 con gà, trong đó có 106 con gà trống. Tỉ số phần trăm số gà mái và tổng số gà là bao nhiêu?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,057
Câu 6:
Cho hình thang ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Diện tích hình thang ABCD là 18 cm2. Tính diện tích tam giác ADM.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,047
Câu 7:
Trong hộp có 40 viên bi, trong đó có 24 viên bi xanh. Tỉ số phần trăm của số bi xanh và số bi trong hộp là bao nhiêu?
Xem đáp án »
16/05/2023
1,997
về câu hỏi!