Cho a, b ∈ ℝ thỏa mãn \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = \frac{9}{4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} \).

Lời giải

Ta có \(\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = \frac{9}{4}\)

\( \Leftrightarrow a + b + ab + 1 = \frac{9}{4}\)

\( \Leftrightarrow a + b + ab = \frac{4}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có

a² + b² ≥ 2ab

\[{{\rm{a}}^2} + \frac{1}{4} \ge 2.a.\frac{1}{2} = a\]

\[{b^2} + \frac{1}{4} \ge 2.b.\frac{1}{2} = b\]

Suy ra \[{{\rm{a}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^2}{\rm{ + 2}}\left( {{{\rm{a}}^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{b^2} + \frac{1}{4}} \right) \ge 2ab + 2{\rm{a}} + 2b\]

⇔ 3(a² + b²) + 1 ≥ 2(a + b + ab)

\( \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2.\frac{5}{4} - 1 = \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Min – cốp – ski ta có

\(P = \sqrt {1 + {a^4}} + \sqrt {1 + {b^4}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {{a^2}} \right)}^2}} + \sqrt {{1^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \ge \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right) + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \)

\[ \Leftrightarrow P \ge \sqrt {4 + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \]

\( \Leftrightarrow P \ge \sqrt {4 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow P \ge \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)

Dấu “ = ” xảy ra khi \[{\rm{a}} = b = \frac{1}{2}\]

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{\sqrt {17} }}{2}\) khi \[{\rm{a}} = b = \frac{1}{2}\].