Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 90^\circ \). Gọi M là trung điểm của cạnh AC, trên tia BM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn BN. Chứng minh

a) CN vuông góc với AC và CN = AB.

b) AN = BC và AN song song với BC.

Lời giải

a) Xét tam giác AMB và tam giác CMN có

AM = MC (M là trung điểm của AC)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMN}\) (hai góc đối đỉnh)

MB = MN (M là trung điểm của BN)

Suy ra △AMB = △CMN (c.g.c)

Do đó AB = CN (2 cạnh tương ứng)

và \(\widehat {BAM} = \widehat {NCM}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BAM} = 90^\circ \) (giả thiết)

Suy ra \(\widehat {NCM} = 90^\circ \)

Hay CN ⊥ AC

b) Xét tam giác ANM và tam giác CBM có

AM = MC (M là trung điểm của AC)

\(\widehat {AMN} = \widehat {CMB}\) (hai góc đối đỉnh)

MB = MN (M là trung điểm của BN)

Suy ra △ANM = △CBM (c.g.c)

Do đó AN = BC (2 cạnh tương ứng)

Và \(\widehat {ANM} = \widehat {CBM}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc ở vị trí so le trong của 2 đường thẳng AN và BC

Suy ra AN // BC

Vậy AN = BC và AN // BC.