Cho tổng gồm 2014 số hạng \[S = \frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]. Chứng minh \[S < \frac{1}{2}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\[4S = 1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}\]

\[4S - S = \left( {1 + \frac{2}{4} + \frac{3}{{{4^2}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2013}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{2}{{{4^2}}} + \frac{3}{{{4^3}}} + ... + \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}} \right)\]

\[3S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]

Đặt \[A = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{2013}}}}\]

\[ \Rightarrow 4A = 4 + 1 + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{4^{2012}}}}\]

\[4A - A = 4 - \frac{1}{{{4^{2013}}}} \Rightarrow A = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}}\]

\[ \Rightarrow 3S = \frac{4}{3} - \frac{1}{{{{3.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{4^{2014}}}}\]\[ \Rightarrow \]\[S = \frac{4}{9} - \frac{1}{{{{9.4}^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{{{3.4}^{2014}}}}\]

Vì \[\frac{4}{9} < \frac{1}{2}\] nên \[\frac{4}{9} - \frac{1}{{9 \times {4^{2013}}}} - \frac{{2014}}{{3 \times {4^{2014}}}} < \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \]S < \[\frac{1}{2}\].

Vậy \[S < \frac{1}{2}\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính: 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

Xem đáp án

Lời giải

1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

= (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + ... + 100

= 100 + 100 + 100 + ... + 100 (50 số 100)

= 100 × 50

= 5000

Câu 2

Hai lớp 5A và 5B tham gia trồng cây. Tuy số học sinh hai lớp bằng nhau nhưng lớp 5B trồng nhiều hơn lớp 5A là 5 cây. Tìm số cây mỗi lớp trồng được, biết nếu mỗi bạn lớp 5A trồng 3 cây thì lớp đó thừa 2 cây, nếu mỗi bạn lớp 5B trồng 4 cây thì lớp đó thiếu 38 cây.

Xem đáp án

Lời giải

Một bạn lớp 5A trồng 3 cây thì thừa 2 cây.

Một bạn 5B trồng 4 cây thì thiếu 38 cây, cũng như 1 bạn 5A trồng 4 cây thì thiếu:

38 + 5 = 43 (cây)

Số cây đủ cho một bạn trồng 4 cây nhiều hơn số cây đủ cho một bạn trồng 3 cây là:

2 + 43 = 45 (cây)

Một bạn trồng 4 cây nhiều hơn một bạn trồng 3 cây số cây là:

4 - 3 = 1 (cây)

Số học sinh lớp 5A (hoặc lớp 5B) là:

45 : 1 = 45 (học sinh)

Lớp 5A trồng được số cây là:

45 × 3 + 2 = 137 (cây)

Lớp 5B trồng được số cây là:

45 × 4 - 38 = 142 (cây)

Đáp số: Lớp 5A: 137 cây;

Lớp 5B: 142 cây.

Câu 3