Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là 1 điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng của A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.

a) Chứng minh \[\widehat {CIJ} = \widehat {CBH}\].

b) Chứng minh DCJH ᔕ DHIB.

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC².

a) Ta có: \[\widehat {CBH} = \widehat {ACH}\] (cùng phụ \[\widehat {HCB}\]) (1)

Xét DCDH ta có:

I và J lần lượt là trung điểm của CH và DH

Þ IJ là đường trung bình của DCHD

Þ IJ // CD Þ IJ // AC Þ         \[\widehat {CIJ} = \widehat {ACH}\] (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) Þ \[\widehat {CIJ} = \widehat {CBH}\] (đpcm)

b) Thấy CJ là đường trung bình của DADH Þ \[\frac{{CJ}}{{AH}} = \frac{1}{2}\]

Mà \[\frac{{HI}}{{CH}} = \frac{1}{2}\] (Do I là trung điểm của CH) Þ \[\frac{{CJ}}{{AH}} = \frac{{HI}}{{CH}} \Rightarrow \frac{{CJ}}{{HI}} = \frac{{AH}}{{CH}}\]

Dễ chứng minh DAHC ᔕ DCHB \[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{HB}} \Rightarrow \frac{{CJ}}{{HI}} = \frac{{CH}}{{HB}}\]

Lại có: CJ // AB và CH ^ AB Þ CH ^ CJ Þ \[\widehat {JCH} = 90^\circ \]

Xét DCJH và DHIB có:

\[\widehat {JCH} = \widehat {CHB}\]

\[\frac{{CJ}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{HB}}\]

Þ DCJH ᔕ DHIB (c. g. c) (đpcm)

c) Ta có: \[\widehat {HIB} + \widehat {HBI} = 90^\circ \].

Mà \[\widehat {HBI} = \widehat {CHJ}\] (do DCJH ᔕ DHIB)

Þ \[\widehat {HIB} + \widehat {CHJ} = 90^\circ \]

Þ DHEI vuông tại E Þ \[\widehat {IEJ} = 90^\circ \]

Xét tứ giác CIEJ: \[\widehat {IEJ} = \widehat {ICJ} = 90^\circ \]Þ Tứ giác CIEJ nội tiếp đường tròn

Þ \[\widehat {ECI} = \widehat {{\rm{EJI}}}\] hay \[\widehat {ECH} = \widehat {HJI}\]. Mà \[\widehat {HJI} = \widehat {HDC}\](vì IJ // CD) Þ \[\widehat {ECH} = \widehat {HDC}\]

Xét DHEC và DHCD có:

\[\widehat {ECH} = \widehat {CDH}\] (cmt)

\[\widehat {CHD}\]: chung

Do đó DHEC ᔕ DHCD (g.g)

Suy ra: \[\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HC}}{{HD}} \Rightarrow HE.HD = H{C^2}\] (đpcm).