Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng ming rằng: \(\widehat {BKC} = \frac{{\widehat {BAC} + \widehat {BDC}}}{2}\).

Gọi G là giao điểm của CK và AE, H là giao điểm của BK và DE.

Xét ∆KGB và ∆AGC và theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat K + \widehat {{B_1}} = \widehat {AGK}\\\widehat A + \widehat {{C_1}} = \widehat {AGK}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat K + \widehat {{B_1}} = \widehat A + \widehat {{C_1}}\) (1)

Xét ∆KHC và ∆DHB và theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat K + {\widehat C_2} = \widehat {EHB}\\\widehat D + {\widehat B_2} = \widehat {EHB}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \widehat K + {\widehat C_2} = \widehat D + {\widehat B_2}\)        (2)

Do \({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (BK là tia phân giác của \(\widehat {DBA}\))

\({\widehat C_1} = {\widehat C_2}\) (CK là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\))

Cộng (1) và (2) ta được: \(2\widehat K = \widehat A + \widehat D\).

Do đó \(\widehat K = \frac{{\widehat A + \widehat D}}{2}\).

Vậy \(\widehat {BKC} = \frac{{\widehat {BAC} + \widehat {BDC}}}{2}\)(đpcm)