Câu hỏi:
12/07/2024 571Cho: x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + 4 = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y)3 – 3xy(x + y) + 3(x + y)2 – 6xy + 4(x + y) + 4 = 0
\( \Leftrightarrow \)[(x + y)3 + 2(x + y)2 +(x + y)2 + 4(x + y) + 4] – [3xy(x +y) + 6xy] = 0
\( \Leftrightarrow \)[(x + y)2(x + y + 2) + (x + y + 2)2] – 3xy(x + y + 2) = 0
\( \Leftrightarrow \)(x + y + 2)[(x + y)2 + x + y + 2] – 3xy(x + y + 2) = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x + y)2 + x + y + 2 – 3xy] = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)(x2 + 2xy + y2 + x + y + 2 – 3xy) = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x2 – 2xy + y2) + (x2 + 2x + 1) + (y2 + 2y + 1) + 2] : 2 = 0
\( \Leftrightarrow \) (x + y + 2)[(x – y)2 + (x + 1)2 + (y + 1)2 + 2] = 0
\( \Leftrightarrow \) x + y + 2 = 0
\( \Leftrightarrow \) x + y = −2
Ta có: \(M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{{ - 2}}{{xy}}\)
Vì 4xy ≤ (x + y)2
\( \Leftrightarrow \) 4xy ≤ (−2)2
\( \Leftrightarrow \) 4xy ≤ 4
\( \Leftrightarrow \) xy ≤ 1
\( \Rightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{xy}} \le - 2\) (do xy >0)
\( \Leftrightarrow \)M ≤ −2.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = −1
Vậy Mmax = −2 khi x = y = −1.
Vậy Mmin = −2.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một bếp ăn dự trữ gạo đủ cho 120 người ăn trong 50 ngày. Nhưng thực tế đã có một số người đến thêm nên số gạo đó chỉ đủ ăn trong 30 ngày. Hỏi số người đến thêm là bao nhiêu?
Câu 3:
Hiện nay, mẹ hơn con 24 tuổi. Cách đây 3 năm, tuổi con bằng \(\frac{1}{4}\) tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
Câu 5:
“Cứ 4 vỏ kẹo đổi được 1 cái kẹo”
Hai bạn Hoa và Hùng cầm 12 vỏ giấy kẹo ra cửa hàng đổi kẹo để ăn. Hoa nói: “Chúng mình sẽ đổi được 3 cái kẹo để ăn!”. Hùng lắc đầu: “3 cái là thế nào? Chúng mình sẽ đổi được 4 cái kẹo và chia đều mỗi đứa 2 cái!”. Theo em, bạn nào nói đúng? Vì sao?
Câu 6:
Một đơn vị bộ đội chuẩn bị đủ gạo cho 750 người ăn trong 50 ngày, nhưng sau 10 ngày đơn vị đó được bổ sung một số người, do đó anh quản lý tính ra số gạo còn lại chỉ đủ ăn trong 25 ngày. Hỏi số người đến thêm là bao nhiêu?
về câu hỏi!