Cho x, y, z là số thực dương khác 0 thỏa mãn: 1x+1y+1z2=1x2+1y2+1z2 . Chứng minh rằng x3+y3+z3=3xyz.

Ta có: 1x+1y+1z2=1x2+1y2+1z2 ⇒1xy+1yz+1xz=0⇒x+y+z=0 Lại có: x3 + y3 + z3 − 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) ⇒ x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0 ⇒ x3 + y3 + z3 = 3xyz.

Câu hỏi:

12/07/2024 470

Cho x, y, z là số thực dương khác 0 thỏa mãn: ${(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})}^{2} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

. Chứng minh rằng $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 x y z$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: ${(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})}^{2} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{x z} = 0 \\ \Rightarrow x + y + z = 0 \end{array}$

Lại có: x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)

⇒ x³ + y³ + z³ − 3xyz = 0

⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hiện nay, bố hơn con 30 tuổi, biết 5 năm nữa tổng số tuổi của hai bố con là 62. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

Xem đáp án

Lời giải

Vì hiệu số tuổi 2 bố con luôn là 30 tuổi nên khi đó bố hơn con 30 tuổi.

Số tuổi của con 5 năm sau là:

(62 − 30) : 2 = 16 (tuổi)

Số tuổi của bố 5 năm sau là:

16 + 30 = 46 (tuổi)

Số tuổi của con hiện nay là:

16 – 5 = 11 (tuổi)

Số tuổi của bố hiện nay là:

46 – 5 = 41 (tuổi)

Đ/S: bố: 41 tuổi.

con: 11 tuổi.

Câu 2

Kết quả của phép tính: $\frac{4^{5} {.9}^{4} - {2.6}^{9}}{2^{10} {.3}^{8} + 6^{8} .20}$ .

Xem đáp án

Lời giải

$\frac{4^{5} {.9}^{4} - {2.6}^{9}}{2^{10} {.3}^{8} + 6^{8} .20} = \frac{{(2^{2})}^{5} . {(3^{2})}^{4} - {2.2}^{9} {.3}^{9}}{2^{10} {.3}^{8} + 2^{8} {.3}^{8} {.2}^{2} .5} = \frac{2^{10} {.3}^{8} - 2^{10} {.3}^{8} .3}{2^{10} {.3}^{8} + 2^{10} {.3}^{8} .5} = \frac{2^{10} {.3}^{8} (1 - 3)}{2^{10} {.3}^{8} (1 + 5)} = - \frac{2}{6} = - \frac{1}{3}$

Vậy $\frac{4^{5} {.9}^{4} - {2.6}^{9}}{2^{10} {.3}^{8} + 6^{8} .20} = - \frac{1}{3} .$

Câu 3