Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).

Ta có x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1). ⇔ x3 + x2 + x = 4y2 + 4y. ⇔ (x3 + x2) + x + 1 = 4y2 + 4y + 1. ⇔ x2(x + 1) + x + 1 = (2y + 1)2. ⇔ (x2 + 1)(x + 1) = (2y + 1)2 (*) Đặt (x2 + 1; x + 1) = d. ⇒ (x + 1)(x – 1) – (x2 + 1) ⋮ d. ⇒ x2 – 1 – x2 – 1 ⋮ d. ⇒ –2 ⋮ d. Mà vế phải của phương trình (*) là số lẻ nên chỉ xảy ra trường hợp d = ±1. Do đó (x2 + 1; x + 1) = 1. Vì vậy x2 + 1 và x + 1 là số chính phương. Đặt x2 + 1 = a2 (a ∈ ℤ). ⇔ (a – x)(a + x) = 1. ⇔a−x=1a+x=1a−x=−1a+x=−1⇔a=1x=0a=−1x=0 ⇔ x = 0. Thế x = 0 vào (*), ta được: (2y + 1)2 = 1. ⇔2y+1=12y+1=−1⇔y=0y=−1 Thử lại, ta thấy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)} thỏa mãn phương trình ban đầu. Vậy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)}.

Câu hỏi:

19/06/2023 4,295

Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

⇔ x³ + x² + x = 4y² + 4y.

⇔ (x³ + x²) + x + 1 = 4y² + 4y + 1.

⇔ x²(x + 1) + x + 1 = (2y + 1)².

⇔ (x² + 1)(x + 1) = (2y + 1)² (*)

Đặt (x² + 1; x + 1) = d.

⇒ (x + 1)(x – 1) – (x² + 1) ⋮ d.

⇒ x² – 1 – x² – 1 ⋮ d.

⇒ –2 ⋮ d.

Mà vế phải của phương trình (*) là số lẻ nên chỉ xảy ra trường hợp d = ±1.

Do đó (x² + 1; x + 1) = 1.

Vì vậy x² + 1 và x + 1 là số chính phương.

Đặt x² + 1 = a² (a ∈ ℤ).

⇔ (a – x)(a + x) = 1.

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a - x = 1 \\ a + x = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a - x = - 1 \\ a + x = - 1 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 1 \\ x = 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = - 1 \\ x = 0 \end{cases} \end{array}$

⇔ x = 0.

Thế x = 0 vào (*), ta được: (2y + 1)² = 1.

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 y + 1 = 1 \\ 2 y + 1 = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ y = - 1 \end{array}$

Thử lại, ta thấy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)} thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vậy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)}.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Khối lớp Năm của một trường tiểu học có 150 học sinh, trong đó có 52% là học sinh gái. Hỏi khối lớp Năm của trường đó có bao nhiêu học sinh trai?

Xem đáp án » 19/06/2023 17,099

Câu 2:

Gấp rưỡi là gấp bao nhiêu?

Xem đáp án » 19/06/2023 7,786

Câu 3:

Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.

Xem đáp án » 19/06/2023 6,243

Câu 4:

Biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ∈ ℕ). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.

Xem đáp án » 19/06/2023 3,913

Câu 5:

Hiện nay tổng số tuổi của bố, mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ bằng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay.

A. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 35.

B. Tuổi con: 3; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 34.

C. Tuổi con: 4; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 34.

D. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 36.

Xem đáp án » 19/06/2023 3,624

Câu 6:

Tìm a, b, c để f(x) = 2x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x² – 1 dư x.

Xem đáp án » 19/06/2023 3,503

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Nghi Nguyễn
05:55 - 18/02/2025

Tại sao lại lấy(x+1)(x-1)-(x^2+1) vậy ạ

0
Trả lời

Xem thêm ...

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP