Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

Ta có x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

⇔ x³ + x² + x = 4y² + 4y.

⇔ (x³ + x²) + x + 1 = 4y² + 4y + 1.

⇔ x²(x + 1) + x + 1 = (2y + 1)².

⇔ (x² + 1)(x + 1) = (2y + 1)²   (*)

Đặt (x² + 1; x + 1) = d.

⇒ (x + 1)(x – 1) – (x² + 1) ⋮ d.

⇒ x² – 1 – x² – 1 ⋮ d.

⇒ –2 ⋮ d.

Mà vế phải của phương trình (*) là số lẻ nên chỉ xảy ra trường hợp d = ±1.

Do đó (x² + 1; x + 1) = 1.

Vì vậy x² + 1 và x + 1 là số chính phương.

Đặt x² + 1 = a² (a ∈ ℤ).

⇔ (a – x)(a + x) = 1.

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a-x=1\\ a+x=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a-x=-1\\ a+x=-1\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a=1\\ x=0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a=-1\\ x=0\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

⇔ x = 0.

Thế x = 0 vào (*), ta được: (2y + 1)² = 1.

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}2y+1=1\\ 2y+1=-1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}y=0\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thử lại, ta thấy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)} thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vậy (x; y) ∈ {(0; 0), (0; –1)}.