Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2.

Ta có x2 + y2 – 4x + 3 = 0. ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 1 = 0. ⇔ (x – 2)2 + y2 = 1 (*) Đặt x−2=ay=b Khi đó (*) tương đương với: a2 + b2 = 1. ⇔ a2 = 1 – b2 ≤ 1. ⇔ –1 ≤ a ≤ 1. Ta có M = (a + 2)2 + b2 = a2 + b2 + 4a + 4. = 1 + 4a + 4 = 5 + 4a. Ta có –1 ≤ a ≤ 1. ⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4. ⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9. ⇔ 1 ≤ M ≤ 9. Dấu “=” xảy ra ⇔a=1a=−1 Với a = 1, ta có: b2 = 1 – a2 = 0 ⇔ b = 0. Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0. Với a = –1, ta có: b2 = 0 ⇔ b = 0. Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0. Vậy Mmax = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và Mmin = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).

Câu hỏi:

19/06/2023 2,485

Cho các số thực x, y thỏa mãn x² + y² – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có x² + y² – 4x + 3 = 0.

⇔ x² – 4x + 4 + y² – 1 = 0.

⇔ (x – 2)² + y² = 1 (*)

Đặt $\{\begin{cases} x - 2 = a \\ y = b \end{cases}$

Khi đó (*) tương đương với: a² + b² = 1.

⇔ a² = 1 – b² ≤ 1.

⇔ –1 ≤ a ≤ 1.

Ta có M = (a + 2)² + b² = a² + b² + 4a + 4.

= 1 + 4a + 4 = 5 + 4a.

Ta có –1 ≤ a ≤ 1.

⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4.

⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9.

⇔ 1 ≤ M ≤ 9.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - 1 \end{array}$

Với a = 1, ta có: b² = 1 – a² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0.

Với a = –1, ta có: b² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0.

Vậy M_max = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và M_min = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Khối lớp Năm của một trường tiểu học có 150 học sinh, trong đó có 52% là học sinh gái. Hỏi khối lớp Năm của trường đó có bao nhiêu học sinh trai?

Xem đáp án » 19/06/2023 21,284

Câu 2:

Gấp rưỡi là gấp bao nhiêu?

Xem đáp án » 19/06/2023 11,358

Câu 3:

Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.

Xem đáp án » 19/06/2023 6,934

Câu 4:

Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

Xem đáp án » 19/06/2023 5,579

Câu 5:

Biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ∈ ℕ). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.

Xem đáp án » 19/06/2023 4,636

Câu 6:

Tìm a, b, c để f(x) = 2x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x² – 1 dư x.

Xem đáp án » 19/06/2023 4,209

Câu 7:

Hiện nay tổng số tuổi của bố, mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ bằng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay.

A. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 35.

B. Tuổi con: 3; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 34.

C. Tuổi con: 4; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 34.

D. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 36.

Xem đáp án » 19/06/2023 3,810

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2.

Bình luận

Khối lớp Năm của một trường tiểu học có 150 học sinh, trong đó có 52% là học sinh gái. Hỏi khối lớp Năm của trường đó có bao nhiêu học sinh trai?

Gấp rưỡi là gấp bao nhiêu?

Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.

Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).

Biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ∈ ℕ). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.

Tìm a, b, c để f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x2 – 1 dư x.

Hiện nay tổng số tuổi của bố, mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ bằng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực x, y thỏa mãn x² + y² – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y².

Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

Tìm a, b, c để f(x) = 2x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x² – 1 dư x.