Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2.

Ta có x2 + y2 – 4x + 3 = 0. ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 1 = 0. ⇔ (x – 2)2 + y2 = 1 (*) Đặt x−2=ay=b Khi đó (*) tương đương với: a2 + b2 = 1. ⇔ a2 = 1 – b2 ≤ 1. ⇔ –1 ≤ a ≤ 1. Ta có M = (a + 2)2 + b2 = a2 + b2 + 4a + 4. = 1 + 4a + 4 = 5 + 4a. Ta có –1 ≤ a ≤ 1. ⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4. ⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9. ⇔ 1 ≤ M ≤ 9. Dấu “=” xảy ra ⇔a=1a=−1 Với a = 1, ta có: b2 = 1 – a2 = 0 ⇔ b = 0. Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0. Với a = –1, ta có: b2 = 0 ⇔ b = 0. Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0. Vậy Mmax = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và Mmin = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).

Câu hỏi:

19/06/2023 2,401

Cho các số thực x, y thỏa mãn x² + y² – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có x² + y² – 4x + 3 = 0.

⇔ x² – 4x + 4 + y² – 1 = 0.

⇔ (x – 2)² + y² = 1 (*)

Đặt $\{\begin{cases} x - 2 = a \\ y = b \end{cases}$

Khi đó (*) tương đương với: a² + b² = 1.

⇔ a² = 1 – b² ≤ 1.

⇔ –1 ≤ a ≤ 1.

Ta có M = (a + 2)² + b² = a² + b² + 4a + 4.

= 1 + 4a + 4 = 5 + 4a.

Ta có –1 ≤ a ≤ 1.

⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4.

⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9.

⇔ 1 ≤ M ≤ 9.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - 1 \end{array}$

Với a = 1, ta có: b² = 1 – a² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0.

Với a = –1, ta có: b² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0.

Vậy M_max = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và M_min = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Khối lớp Năm của một trường tiểu học có 150 học sinh, trong đó có 52% là học sinh gái. Hỏi khối lớp Năm của trường đó có bao nhiêu học sinh trai?

Xem đáp án » 19/06/2023 20,176

Câu 2:

Gấp rưỡi là gấp bao nhiêu?

Xem đáp án » 19/06/2023 9,621

Câu 3:

Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.

Xem đáp án » 19/06/2023 6,660

Câu 4:

Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

Xem đáp án » 19/06/2023 5,141

Câu 5:

Biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ∈ ℕ). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.

Xem đáp án » 19/06/2023 4,367

Câu 6:

Tìm a, b, c để f(x) = 2x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x² – 1 dư x.

Xem đáp án » 19/06/2023 3,964

Câu 7:

Hiện nay tổng số tuổi của bố, mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ bằng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay.

A. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 35.

B. Tuổi con: 3; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 34.

C. Tuổi con: 4; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 34.

D. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 36.

Xem đáp án » 19/06/2023 3,735

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP