Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2.

Ta có x2 + y2 – 4x + 3 = 0. ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 1 = 0. ⇔ (x – 2)2 + y2 = 1 (*) Đặt x−2=ay=b Khi đó (*) tương đương với: a2 + b2 = 1. ⇔ a2 = 1 – b2 ≤ 1. ⇔ –1 ≤ a ≤ 1. Ta có M = (a + 2)2 + b2 = a2 + b2 + 4a + 4. = 1 + 4a + 4 = 5 + 4a. Ta có –1 ≤ a ≤ 1. ⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4. ⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9. ⇔ 1 ≤ M ≤ 9. Dấu “=” xảy ra ⇔a=1a=−1 Với a = 1, ta có: b2 = 1 – a2 = 0 ⇔ b = 0. Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0. Với a = –1, ta có: b2 = 0 ⇔ b = 0. Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0. Vậy Mmax = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và Mmin = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).

Câu hỏi:

19/06/2023 2,612

Cho các số thực x, y thỏa mãn x² + y² – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có x² + y² – 4x + 3 = 0.

⇔ x² – 4x + 4 + y² – 1 = 0.

⇔ (x – 2)² + y² = 1 (*)

Đặt $\{\begin{cases} x - 2 = a \\ y = b \end{cases}$

Khi đó (*) tương đương với: a² + b² = 1.

⇔ a² = 1 – b² ≤ 1.

⇔ –1 ≤ a ≤ 1.

Ta có M = (a + 2)² + b² = a² + b² + 4a + 4.

= 1 + 4a + 4 = 5 + 4a.

Ta có –1 ≤ a ≤ 1.

⇔ –4 ≤ 4a ≤ 4.

⇔ 1 ≤ 4a + 5 ≤ 9.

⇔ 1 ≤ M ≤ 9.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - 1 \end{array}$

Với a = 1, ta có: b² = 1 – a² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = 1, b = 0, ta có: x = 3, y = 0.

Với a = –1, ta có: b² = 0 ⇔ b = 0.

Với a = –1, b = 0, ta có: x = 1, y = 0.

Vậy M_max = 9 khi và chỉ khi (x, y) = (3; 0) và M_min = 1 khi và chỉ khi (x; y) = (1; 0).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Khối lớp Năm của một trường tiểu học có 150 học sinh, trong đó có 52% là học sinh gái. Hỏi khối lớp Năm của trường đó có bao nhiêu học sinh trai?

Xem đáp án

Lời giải

Tỉ số phần trăm số học sinh trai và tổng số học sinh của khối lớp 5 là:

100% – 52% = 48%.

Số học sinh trai của khối lớp 5 là:

150 × 48 : 100 = 72 (học sinh).

Đáp số: 72 học sinh.

Câu 2

A. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 35.

B. Tuổi con: 3; Tuổi mẹ: 29; Tuổi bố 34.

C. Tuổi con: 4; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 34.

D. Tuổi con: 2; Tuổi mẹ: 28; Tuổi bố 36.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + y2.

Khối lớp Năm của một trường tiểu học có 150 học sinh, trong đó có 52% là học sinh gái. Hỏi khối lớp Năm của trường đó có bao nhiêu học sinh trai?

Gấp rưỡi là gấp bao nhiêu?

Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.

Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1).

Biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ∈ ℕ). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.

Tìm a, b, c để f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x2 – 1 dư x.

Hiện nay tổng số tuổi của bố, mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ bằng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực x, y thỏa mãn x² + y² – 4x + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = x² + y².

Tìm x, y ∈ ℤ thỏa phương trình x(x² + x + 1) = 4y(y + 1).

Tìm a, b, c để f(x) = 2x⁴ + ax² + bx + c chia hết cho x + 2 và f(x) chia cho x² – 1 dư x.