Câu hỏi:
19/06/2023 1,058Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của .
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có:
Ta chứng minh x2 + y2 + z2 + 6xyz ≤ 9 = (x + y + z)2
⇔ 3(x2 + y2 + z2 + 6xyz) ≤ 3(x + y + z)2
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 6xyz) ≤ (x + y + z)3
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2) + 18xyz ≤ (x + y + z)3
⇔ x3 + xy2 +xz2 + yx2 + y3 + yz2 + zx2 + zy2 + z3 + 18xyz ≤ x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 6xyz
⇔ 12xyz ≤ 2x2y + 2x2z + 2xy2 + 2xz2 + 2y2z + 2yz2
⇔ 2(xy2 + xz2 + yz2 + yx2 + zy2 + zx2) – 12xyz ≥ 0
⇔ 2(xy2 + xz2 + yz2 + yx2 + zy2 + zx2 – 6xyz) ≥ 0
⇔ 2(xy2 – 2xyz + xz2 + yz2 – 2xyz + yx2 + zy2 – 2xyz + zx2) ≥ 0
⇔ 2[x(y2 – 2yz + z2) + y(z2 – 2xz + x2) + z(y2 – 2xy + x2)] ≥ 0
⇔ 2[x(y – z)2 + y(z – x)2 + z(y – x)2] ≥ 0
Vì x, y, z ≥ 0
Nên x(y – z)2 ≥ 0, y(z – x)2 ≥ 0, z(y – x)2 ≥ 0
Suy ra 2[x(y – z)2 + y(z – x)2 + z(y – x)2] ≥ 0
Do đó x2 + y2 + z2 + 6xyz ≤ 9
Hay S ≤ 9
Dấu “ = ” xảy ra khi (x; y; z) = (0; 0; 3) và các hoán vị
Ta có
Ta sẽ chứng minh
⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 + 3xyz ≥ (x + y + z)2
⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 + 3xyz ≥ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz
⇔ x2 + y2 + z2 + 3xyz ≥ 2(xy + yz + xz)
⇔ 3(x2 + y2 + z2) + 9xyz ≥ 3 . 2(xy + yz + xz)
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2) + 9xyz ≥ 2(xy + yz + xz)(x + y + z)
⇔ x3 + xy2 +xz2 + yx2 + y3 + yz2 + zx2 + zy2 + z3 + 9xyz ≥ 2x2y + 2xy2 + 2xyz + 2xyz + 2y2z + 2yz2 + 2x2z + 2xyz + 2xz2
⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ x2y + xy2 + y2z + yz2 + x2z + xz2
⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ (x2y + xy2) + (y2z + yz2) + (x2z + xz2)
⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) (luôn đúng theo bất đẳng thức Schur)
Do đó
Hay
Dấu “ = ” xảy ra khi và các hoán vị
Vậy giá trị lớn nhất của S là 9 và giá trị nhỏ nhất là .
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Tỉ lệ nước trong hạt cà phê tươi là 22%, có 1 tấn cà phê tươi đem phơi khô. Hỏi lượng nước cần bay hơi đi là bao nhiêu để lượng cà phê khô thu được chỉ có tỉ lệ nước là 4%.
Câu 4:
Hai số có tổng là 32, nếu giữ nguyên số hạng thứ nhất và thêm vào số hạng thứ hai 7 đơn vị thì tổng mới là bao nhiêu ?
Câu 6:
Có một bình đựng đầy 8 lít rượu và hai bình rỗng gồm 5 lít và 3 lít. Làm thế nào để lấy được 4 lít rượu bán cho khách?
Câu 7:
Hạt tươi có tỉ lệ nước là 15%, hạt khô có tỉ lệ nước là 10%. Để có 340 kg hạt khô thì cần phải đem phơi bao nhiêu kg hạt tươi?
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận