Câu hỏi:
19/06/2023 667Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của .
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
Ta chứng minh x2 + y2 + z2 + 6xyz ≤ 9 = (x + y + z)2
⇔ 3(x2 + y2 + z2 + 6xyz) ≤ 3(x + y + z)2
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 6xyz) ≤ (x + y + z)3
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2) + 18xyz ≤ (x + y + z)3
⇔ x3 + xy2 +xz2 + yx2 + y3 + yz2 + zx2 + zy2 + z3 + 18xyz ≤ x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 6xyz
⇔ 12xyz ≤ 2x2y + 2x2z + 2xy2 + 2xz2 + 2y2z + 2yz2
⇔ 2(xy2 + xz2 + yz2 + yx2 + zy2 + zx2) – 12xyz ≥ 0
⇔ 2(xy2 + xz2 + yz2 + yx2 + zy2 + zx2 – 6xyz) ≥ 0
⇔ 2(xy2 – 2xyz + xz2 + yz2 – 2xyz + yx2 + zy2 – 2xyz + zx2) ≥ 0
⇔ 2[x(y2 – 2yz + z2) + y(z2 – 2xz + x2) + z(y2 – 2xy + x2)] ≥ 0
⇔ 2[x(y – z)2 + y(z – x)2 + z(y – x)2] ≥ 0
Vì x, y, z ≥ 0
Nên x(y – z)2 ≥ 0, y(z – x)2 ≥ 0, z(y – x)2 ≥ 0
Suy ra 2[x(y – z)2 + y(z – x)2 + z(y – x)2] ≥ 0
Do đó x2 + y2 + z2 + 6xyz ≤ 9
Hay S ≤ 9
Dấu “ = ” xảy ra khi (x; y; z) = (0; 0; 3) và các hoán vị
Ta có
Ta sẽ chứng minh
⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 + 3xyz ≥ (x + y + z)2
⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 + 3xyz ≥ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz
⇔ x2 + y2 + z2 + 3xyz ≥ 2(xy + yz + xz)
⇔ 3(x2 + y2 + z2) + 9xyz ≥ 3 . 2(xy + yz + xz)
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2) + 9xyz ≥ 2(xy + yz + xz)(x + y + z)
⇔ x3 + xy2 +xz2 + yx2 + y3 + yz2 + zx2 + zy2 + z3 + 9xyz ≥ 2x2y + 2xy2 + 2xyz + 2xyz + 2y2z + 2yz2 + 2x2z + 2xyz + 2xz2
⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ x2y + xy2 + y2z + yz2 + x2z + xz2
⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ (x2y + xy2) + (y2z + yz2) + (x2z + xz2)
⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) (luôn đúng theo bất đẳng thức Schur)
Do đó
Hay
Dấu “ = ” xảy ra khi và các hoán vị
Vậy giá trị lớn nhất của S là 9 và giá trị nhỏ nhất là .
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tỉ lệ nước trong hạt cà phê tươi là 22%, có 1 tấn cà phê tươi đem phơi khô. Hỏi lượng nước cần bay hơi đi là bao nhiêu để lượng cà phê khô thu được chỉ có tỉ lệ nước là 4%.
Tỉ lệ nước trong hạt cà phê tươi là 22%, có 1 tấn cà phê tươi đem phơi khô. Hỏi lượng nước cần bay hơi đi là bao nhiêu để lượng cà phê khô thu được chỉ có tỉ lệ nước là 4%.
Xem đáp án »
19/06/2023
4,058
Câu 3:
Hai số có tổng là 32, nếu giữ nguyên số hạng thứ nhất và thêm vào số hạng thứ hai 7 đơn vị thì tổng mới là bao nhiêu ?
Hai số có tổng là 32, nếu giữ nguyên số hạng thứ nhất và thêm vào số hạng thứ hai 7 đơn vị thì tổng mới là bao nhiêu ?
Xem đáp án »
19/06/2023
2,896
Câu 5:
Cho (P): y = 2x2. Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.
Xem đáp án »
19/06/2023
1,767
Câu 6:
Có một bình đựng đầy 8 lít rượu và hai bình rỗng gồm 5 lít và 3 lít. Làm thế nào để lấy được 4 lít rượu bán cho khách?
Có một bình đựng đầy 8 lít rượu và hai bình rỗng gồm 5 lít và 3 lít. Làm thế nào để lấy được 4 lít rượu bán cho khách?
Xem đáp án »
19/06/2023
1,757
Câu 7:
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K, H theo thứ tự là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: IJ vuông góc HK.
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K, H theo thứ tự là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: IJ vuông góc HK.
Xem đáp án »
19/06/2023
1,497
về câu hỏi!