Câu hỏi:

19/06/2023 1,097

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $S = x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{9}{2} x y z$ .

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $S \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x y z$

Ta chứng minh x² + y² + z² + 6xyz ≤ 9 = (x + y + z)²

⇔ 3(x² + y² + z² + 6xyz) ≤ 3(x + y + z)²

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z² + 6xyz) ≤ (x + y + z)³

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z²) + 18xyz ≤ (x + y + z)³

⇔ x³ + xy² +xz² + yx² + y³ + yz² + zx² + zy² + z³ + 18xyz ≤ x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3x²z + 3xy² + 3xz² + 3y²z + 3yz² + 6xyz

⇔ 12xyz ≤ 2x²y + 2x²z + 2xy² + 2xz² + 2y²z + 2yz²

⇔ 2(xy² + xz² + yz² + yx² + zy² + zx²) – 12xyz ≥ 0

⇔ 2(xy² + xz² + yz² + yx² + zy² + zx² – 6xyz) ≥ 0

⇔ 2(xy² – 2xyz + xz² + yz² – 2xyz + yx² + zy² – 2xyz + zx²) ≥ 0

⇔ 2[x(y² – 2yz + z²) + y(z² – 2xz + x²) + z(y² – 2xy + x²)] ≥ 0

⇔ 2[x(y – z)² + y(z – x)² + z(y – x)²] ≥ 0

Vì x, y, z ≥ 0

Nên x(y – z)² ≥ 0, y(z – x)² ≥ 0, z(y – x)² ≥ 0

Suy ra 2[x(y – z)² + y(z – x)² + z(y – x)²] ≥ 0

Do đó x² + y² + z² + 6xyz ≤ 9

Hay S ≤ 9

Dấu “ = ” xảy ra khi (x; y; z) = (0; 0; 3) và các hoán vị

Ta có $S \geq x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{3}{2} x y z$

Ta sẽ chứng minh $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{3}{2} x y z \geq \frac{9}{2} = \frac{{(x + y + z)}^{2}}{2}$

⇔ 2x² + 2y² + 2z² + 3xyz ≥ (x + y + z)²

⇔ 2x² + 2y² + 2z² + 3xyz ≥ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz

⇔ x² + y² + z² + 3xyz ≥ 2(xy + yz + xz)

⇔ 3(x² + y² + z²) + 9xyz ≥ 3 . 2(xy + yz + xz)

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z²) + 9xyz ≥ 2(xy + yz + xz)(x + y + z)

⇔ x³ + xy² +xz² + yx² + y³ + yz² + zx² + zy² + z³ + 9xyz ≥ 2x²y + 2xy² + 2xyz + 2xyz + 2y²z + 2yz² + 2x²z + 2xyz + 2xz²

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ x²y + xy² + y²z + yz² + x²z + xz²

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ (x²y + xy²) + (y²z + yz²) + (x²z + xz²)

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) (luôn đúng theo bất đẳng thức Schur)

Do đó $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{3}{2} x y z \geq \frac{9}{2}$

Hay $S \geq \frac{9}{2}$

Dấu “ = ” xảy ra khi $(x; y; z) = (0; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ và các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của S là 9 và giá trị nhỏ nhất là $\frac{9}{2}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách - 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (Sách dành cho ôn thi THPT Quốc gia 2025) VietJack

Đã bán 189

₫ 135.000 ₫ 38.500

Hà Nội

Sách - 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Dành cho ôn thi THPT 2025) VietJack

Đã bán 187

₫ 135.000 ₫ 38.500

Hà Nội

Combo - Sổ tay Lý thuyết trọng tâm lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL

Đã bán 1,5k

₫ 70.000 ₫ 36.000

Hà Nội

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Đã bán 1,4k

₫ 280.000 ₫ 150.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho (P): y = 2x². Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Xem đáp án » 19/06/2023 7,038

Câu 2:

Tỉ lệ nước trong hạt cà phê tươi là 22%, có 1 tấn cà phê tươi đem phơi khô. Hỏi lượng nước cần bay hơi đi là bao nhiêu để lượng cà phê khô thu được chỉ có tỉ lệ nước là 4%.

Xem đáp án » 19/06/2023 5,938

Câu 3:

Hai số có tổng là 32, nếu giữ nguyên số hạng thứ nhất và thêm vào số hạng thứ hai 7 đơn vị thì tổng mới là bao nhiêu ?

Xem đáp án » 19/06/2023 4,661

Câu 4:

Các số 693, 495 và 117 có ước chung lớn nhất là bao nhiêu?

Xem đáp án » 19/06/2023 4,651

Câu 5:

Tìm x; y biết 2x² + y² + 2xy – 6x – 2y + 5 = 0.

Xem đáp án » 19/06/2023 3,295

Câu 6:

Có một bình đựng đầy 8 lít rượu và hai bình rỗng gồm 5 lít và 3 lít. Làm thế nào để lấy được 4 lít rượu bán cho khách?

Xem đáp án » 19/06/2023 2,606

Câu 7:

Hạt tươi có tỉ lệ nước là 15%, hạt khô có tỉ lệ nước là 10%. Để có 340 kg hạt khô thì cần phải đem phơi bao nhiêu kg hạt tươi?

Xem đáp án » 19/06/2023 2,479

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S=x2+y2+z2+92xyz.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho (P): y = 2x2. Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Tỉ lệ nước trong hạt cà phê tươi là 22%, có 1 tấn cà phê tươi đem phơi khô. Hỏi lượng nước cần bay hơi đi là bao nhiêu để lượng cà phê khô thu được chỉ có tỉ lệ nước là 4%.

Hai số có tổng là 32, nếu giữ nguyên số hạng thứ nhất và thêm vào số hạng thứ hai 7 đơn vị thì tổng mới là bao nhiêu ?

Các số 693, 495 và 117 có ước chung lớn nhất là bao nhiêu?

Tìm x; y biết 2x2 + y2 + 2xy – 6x – 2y + 5 = 0.

Có một bình đựng đầy 8 lít rượu và hai bình rỗng gồm 5 lít và 3 lít. Làm thế nào để lấy được 4 lít rượu bán cho khách?

Hạt tươi có tỉ lệ nước là 15%, hạt khô có tỉ lệ nước là 10%. Để có 340 kg hạt khô thì cần phải đem phơi bao nhiêu kg hạt tươi?

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $S = x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{9}{2} x y z$ .

Cho (P): y = 2x². Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Tìm x; y biết 2x² + y² + 2xy – 6x – 2y + 5 = 0.