Câu hỏi:

19/08/2025 2,402

Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $S = x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{9}{2} x y z$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $S \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x y z$

Ta chứng minh x² + y² + z² + 6xyz ≤ 9 = (x + y + z)²

⇔ 3(x² + y² + z² + 6xyz) ≤ 3(x + y + z)²

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z² + 6xyz) ≤ (x + y + z)³

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z²) + 18xyz ≤ (x + y + z)³

⇔ x³ + xy² +xz² + yx² + y³ + yz² + zx² + zy² + z³ + 18xyz ≤ x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3x²z + 3xy² + 3xz² + 3y²z + 3yz² + 6xyz

⇔ 12xyz ≤ 2x²y + 2x²z + 2xy² + 2xz² + 2y²z + 2yz²

⇔ 2(xy² + xz² + yz² + yx² + zy² + zx²) – 12xyz ≥ 0

⇔ 2(xy² + xz² + yz² + yx² + zy² + zx² – 6xyz) ≥ 0

⇔ 2(xy² – 2xyz + xz² + yz² – 2xyz + yx² + zy² – 2xyz + zx²) ≥ 0

⇔ 2[x(y² – 2yz + z²) + y(z² – 2xz + x²) + z(y² – 2xy + x²)] ≥ 0

⇔ 2[x(y – z)² + y(z – x)² + z(y – x)²] ≥ 0

Vì x, y, z ≥ 0

Nên x(y – z)² ≥ 0, y(z – x)² ≥ 0, z(y – x)² ≥ 0

Suy ra 2[x(y – z)² + y(z – x)² + z(y – x)²] ≥ 0

Do đó x² + y² + z² + 6xyz ≤ 9

Hay S ≤ 9

Dấu “ = ” xảy ra khi (x; y; z) = (0; 0; 3) và các hoán vị

Ta có $S \geq x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{3}{2} x y z$

Ta sẽ chứng minh $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{3}{2} x y z \geq \frac{9}{2} = \frac{{(x + y + z)}^{2}}{2}$

⇔ 2x² + 2y² + 2z² + 3xyz ≥ (x + y + z)²

⇔ 2x² + 2y² + 2z² + 3xyz ≥ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz

⇔ x² + y² + z² + 3xyz ≥ 2(xy + yz + xz)

⇔ 3(x² + y² + z²) + 9xyz ≥ 3 . 2(xy + yz + xz)

⇔ (x + y + z)(x² + y² + z²) + 9xyz ≥ 2(xy + yz + xz)(x + y + z)

⇔ x³ + xy² +xz² + yx² + y³ + yz² + zx² + zy² + z³ + 9xyz ≥ 2x²y + 2xy² + 2xyz + 2xyz + 2y²z + 2yz² + 2x²z + 2xyz + 2xz²

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ x²y + xy² + y²z + yz² + x²z + xz²

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ (x²y + xy²) + (y²z + yz²) + (x²z + xz²)

⇔ x³ + y³ + z³ + 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) (luôn đúng theo bất đẳng thức Schur)

Do đó $x^{2} + y^{2} + z^{2} + \frac{3}{2} x y z \geq \frac{9}{2}$

Hay $S \geq \frac{9}{2}$

Dấu “ = ” xảy ra khi $(x; y; z) = (0; \frac{3}{2}; \frac{3}{2})$ và các hoán vị

Vậy giá trị lớn nhất của S là 9 và giá trị nhỏ nhất là $\frac{9}{2}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho (P): y = 2x². Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P) sao cho hoành độ bằng hai lần tung độ.

Suy ra x₀ = 2y₀.

Mà A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P) nên $y_{0} = 2 x_{0}^{2}$

Do đó $x_{0} = 2.2 x_{0}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 x_{0}^{2} - x_{0} = 0$

Û x₀(4x₀ – 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = \frac{1}{4} \end{array}$

Với x₀ = 0 ta có y₀ = 0;

Với $x_{0} = \frac{1}{4}$ ta có $y_{0} = \frac{1}{8}$ .

Vậy các điểm thỏa mãn yêu cầu là O(0; 0) và $A (\frac{1}{4}; \frac{1}{8})$ .

Câu 2

Tỉ lệ nước trong hạt cà phê tươi là 22%, có 1 tấn cà phê tươi đem phơi khô. Hỏi lượng nước cần bay hơi đi là bao nhiêu để lượng cà phê khô thu được chỉ có tỉ lệ nước là 4%.

Xem đáp án

Lời giải

Do trong cà phê tươi, nước chiếm 22% khối lượng nên cà phê nguyên chất chiếm:

100% – 22% = 78%

Đổi 1 tấn = 1000 kg

Khối lượng cà phê nguyên chất có trong 1 tấn cà phê tươi là:

78% × 1000 = 780 (kg)

Trong cà phê khô, nước chiếm 4% khối lượng nên cà phê nguyên chất chiếm

100% − 4% = 96%

Khối lượng cà phê khô (có tỉ lệ nước 4%) là:

780 : 96% = 812,5 (kg)

Khối lượng nước đã bay hơi đi là:

1000 – 812,5 = 187,5 (kg)

Vậy khối lượng nước cần bay hơi đi là 187,5kg để lượng cà phê khô thu được có tỉ lệ nước là 4%.

Câu 3