Chứng minh với mọi n ∈ ℤ ta có: \[\frac{1}{{2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} = \frac{{\sqrt k }}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \sqrt k \left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}} \right)$

$ = \sqrt k \left( {\frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)$

$ = \left( {1 + \frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)$

Do $\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} < 1 \Rightarrow 1 + \frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} < 2 \Rightarrow \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)$

Áp dụng BĐT này, ta có: $\frac{1}{2} < 2\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$

$\frac{1}{{3\sqrt 2 }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$

$\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)$

Cộng tất cả các BĐT trên ta được:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)$.

$\; \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) < 2$ (đpcm).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℝ | 1≤ |x| ≤ 2}; B = (–∞; m – 2] ∪ [m; +∞).

Tìm tất cả các giá trị của m để A ⊂ B.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[A = \left[ { - 2; - 1} \right] \cup \left[ {1;2} \right]\]; \[B = \left( { - \infty ;m - 2} \right] \cup \left[ {m; + \infty } \right)\]

Để A ⊂ B, ta có:

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge - 1\\m \le 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow m = 1\].

TH2. m ≤ 2.

TH3. m ‒ 2 ≥ 2 ⇔ m ≥ 4.

Vậy \[\left[ \begin{array}{l}m \ge 4\\m \le - 2\\m = 1\end{array} \right.\] thì A ⊂ B.

Câu 2

Cho tập hợp A = (0; +∞) và B = {x ∈ ℝ | mx² ‒ 4x + m ‒ 3 = 0}. Tìm m để B có đúng hai tập con và B ⊂ A.

Xem đáp án

Lời giải

$- 4 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 3}{4}$

Để B có đúng 2 tập con thì B có duy nhất một phần tử, và B ⊂ A nên B có một phần tử thuộc A.

Nên mx² ‒ 4x + m ‒ 3 = 0 (1) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó lớn hơn 0.

Với m = 0, ta có phương trình: (loại).

Với m ≠ 0, phương trình (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0 khi và chỉ khi:

∆’ = 4 – m(m – 3) = 0.

$\Leftrightarrow - m^{2} + 3 m + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 4 \end{array}$

Với m = –1, ta có: –x² – 4x – 4 = 0 ⇔ x = –2 (loại).

Với m = 4, ta có: 4x² – 4x + 1 = 0.

Phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{2} > 0$ .

Vậy m = 4 thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 3