Câu hỏi:
05/07/2023 164
Chứng minh với mọi n ∈ ℤ ta có: \[\frac{1}{{2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\].
Chứng minh với mọi n ∈ ℤ ta có: \[\frac{1}{{2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\].
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} = \frac{{\sqrt k }}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \sqrt k \left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}} \right)\)
\( = \sqrt k \left( {\frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\)
\( = \left( {1 + \frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\)
Do \(\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} < 1 \Rightarrow 1 + \frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} < 2 \Rightarrow \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\)
Áp dụng BĐT này, ta có: \(\frac{1}{2} < 2\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
\(\frac{1}{{3\sqrt 2 }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
\(\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)
Cộng tất cả các BĐT trên ta được:
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\).
\(\; \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) < 2\) (đpcm).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℝ | 1≤ |x| ≤ 2}; B = (–∞; m – 2] ∪ [m; +∞).
Tìm tất cả các giá trị của m để A ⊂ B.
Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℝ | 1≤ |x| ≤ 2}; B = (–∞; m – 2] ∪ [m; +∞).
Tìm tất cả các giá trị của m để A ⊂ B.
Xem đáp án »
13/07/2024
34,603
Câu 2:
Cho tập hợp A = (0; +∞) và B = {x ∈ ℝ | mx2 ‒ 4x + m ‒ 3 = 0}. Tìm m để B có đúng hai tập con và B ⊂ A.
Cho tập hợp A = (0; +∞) và B = {x ∈ ℝ | mx2 ‒ 4x + m ‒ 3 = 0}. Tìm m để B có đúng hai tập con và B ⊂ A.
Xem đáp án »
13/07/2024
20,444
Câu 3:
Cho các tập hợp \(A = \left[ {1 - m;\frac{{m + 3}}{2}} \right]\) và B = (‒∞; ‒3) ∪ [3; +∞). Tìm tất cả các số thực m để A ∪ B = ℝ.
Cho các tập hợp \(A = \left[ {1 - m;\frac{{m + 3}}{2}} \right]\) và B = (‒∞; ‒3) ∪ [3; +∞). Tìm tất cả các số thực m để A ∪ B = ℝ.
Xem đáp án »
13/07/2024
8,002
Câu 4:
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,964
Câu 5:
Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào trong 3 môn trên và 5 em thích cả 3 môn. Hỏi có bao nhiêu em thích 1 môn trong 3 môn trên?
Lớp 10A có 45 học sinh, trong đó 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào trong 3 môn trên và 5 em thích cả 3 môn. Hỏi có bao nhiêu em thích 1 môn trong 3 môn trên?
Xem đáp án »
13/07/2024
6,335
Câu 6:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\] (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{1 - x}}\] (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,568
Câu 7:
Tứ giác có hai góc đối bằng 90° có phải là hình chữ nhật không?
Tứ giác có hai góc đối bằng 90° có phải là hình chữ nhật không?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,014
về câu hỏi!