Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ + (n – 1)d.

a) u_n = 3 + 5n;

b) u_n = 6n – 4;

c) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + n;

d) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + 3.

Lời giải:

a) u_n = 3 + 5n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 3 + 5 . 1 = 8;

u₂ = 3 + 5 . 2 = 13;

u₃ = 3 + 5 . 3 = 18;

u₄ = 3 + 5 . 4 = 23;

u₅ = 3 + 5 . 5 = 28.

+) Ta có: u_n – u_{n – 1} = (3 + 5n) – [3 + 5(n – 1)] = 5, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 8 và công sai d = 5.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 8 + (n – 1). 5.

b) u_n = 6n – 4

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 6 . 1 – 4 = 2;

u₂ = 6 . 2 – 4 = 8;

u₃ = 6 . 3 – 4 = 14;

u₄ = 6 . 4 – 4 = 20;

u₅ = 6 . 5 – 4 = 26.

+) Ta có: u_n – u_{n – 1} = (6n – 4) – [6(n – 1) – 4] = 6, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 6.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 6.

c) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + n

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 2 = 2 + 2 = 4;

u₃ = u₂ + 3 = 4 + 3 = 7;

u₄ = u₃ + 4 = 7 + 4 = 11;

u₅ = u₄ + 5 = 11 + 5 = 16.

Ta có: u_n = u_{n – 1} + n ⇔ u_n – u_{n – 1} = n, do n luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số (u_n) thay đổi.

Vậy dãy số (u_n) không phải là cấp số cộng.

d) u₁ = 2, u_n = u_{n – 1} + 3

+) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

u₁ = 2;

u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5;

u₃ = u₂ + 3 = 5 + 3 = 8;

u₄ = u₃ + 3 = 8 + 3 = 11;

u₅ = u₄ + 3 = 11 + 3 = 14.

Ta có: u_n = u_{n – 1} + 3 ⇔ u_n – u_{n – 1} = 3, với mọi n ≥ 2.

Do đó dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng này là u_n = u₁ + (n – 1)d = 2 + (n – 1). 3.