Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 = a và công bội q ≠ 1. Để tính tổng của n số hạng đầu Sn = u1 + u2 + ... + un – 1 + un, thực hiện lần lượt các yêu cầu sau: a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổn...

Lời giải: a) Ta có: u2 = u1 . q; ...; un – 1 = u1 . q(n – 1) – 1 = u1 . qn – 2; un = u1 . qn – 1. Do đó, Sn = u1 + u2 + ... + un – 1 + un = u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1 (1). b) Ta có: q . Sn = q . (u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1) ⇔ q . Sn = u1 . q + u1 . q2 + ... + u1 . qn – 1 + u1 . qn (2). c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được: Sn – q . Sn = (u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1) – (u1 . q + u1 . q2 + ... + u1 . qn – 1 + u1 . qn) ⇔ (1 – q)Sn = u1 – u1 . qn ⇔ (1 – q)Sn = u1(1 – qn) ⇒ Sn = ( frac{{{u_1} left( {1 - {q^n}} right)}}{{1 - q}} ) (với q ≠ 1).

Câu hỏi:

13/07/2024 900

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = a và công bội q ≠ 1.

Để tính tổng của n số hạng đầu

S_n = u₁ + u₂+ ... + u_{n – 1} + u_n,

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u₁ và q để được biểu thức tính tổng S_n chỉ chứa u₁ và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . S_n chỉ chứa u₁ và q.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)S_n theo u₁ và q. Từ đó suy ra công thức tính S_n.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 7. Cấp số nhân có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

a) Ta có: u₂ = u₁ . q; ...; u_{n – 1}= u₁ . q(^{n – 1) – 1}= u₁ . q^{n – 2}; u_n = u₁ . q^{n – 1}.

Do đó, S_n = u₁ + u₂+ ... + u_{n – 1} + u_n = u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1} (1).

b) Ta có: q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1})

⇔ q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S_n – q . S_n = (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1}) – (u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ)

⇔ (1 – q)S_n = u₁ – u₁ . qⁿ

⇔ (1 – q)S_n = u₁(1 – qⁿ)

⇒ S_n = \(\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\) (với q ≠ 1).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.

Xem đáp án » 13/07/2024 39,409

Câu 2:

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.

Xem đáp án » 13/07/2024 31,098

Câu 3:

Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.

Xem đáp án » 13/07/2024 24,495

Câu 4:

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

Xem đáp án » 13/07/2024 15,285

Câu 5:

Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Xem đáp án » 13/07/2024 14,984

Câu 6:

Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Xem đáp án » 13/07/2024 14,065

Câu 7:

Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Xem đáp án » 13/07/2024 13,119

Xem thêm các câu hỏi khác »