Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ . q^{n – 1}.

a) u_n = 5n;

b) u_n = 5ⁿ;

c) u₁ = 1, u_n = nu_{n – 1};

d) u₁ = 1, u_n = 5u_{n – 1}.

Lời giải:

a) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5 . 1 = 5;

u₂ = 5 . 2 = 10;

u₃ = 5 . 3 = 15;

u₄ = 5 . 4 = 20;

u₅ = 5 . 5 = 25;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{5n}}{{5\left( {n - 1} \right)}} = \frac{n}{{n - 1}} = \frac{{n - 1 + 1}}{{n - 1}} = 1 + \frac{1}{{n - 1}}\) luôn thay đổi.

Do đó, dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

b) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5¹ = 5;

u₂ = 5² = 25;

u₃ = 5³ = 125;

u₄ = 5⁴ = 625;

u₅ = 5⁵ = 3 125;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có

\(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^{n - 1}}}} = \frac{{{5^{n - 1}}.5}}{{{5^{n - 1}}}} = 5\),

tức là u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Do đó, (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5, công bội q = 5 và số hạng tổng quát là u_n = u₁ . q^{n – 1} = 5 . 5^{n – 1} = 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ.

c) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 2 . u₁ = 2 . 1 = 2;

u₃ = 3 . u₂ = 3 . 2 = 6;

u₄ = 4 . u₃ = 4 . 6 = 24;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 24 = 120.

+) Ta có: u_n = nu_{n – 1}, suy ra \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = n\) luôn thay đổi với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

d) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 5 . u₁ = 5 . 1 = 5;

u₃ = 5 . u₂ = 5 . 5 = 25;

u₄ = 5 . u₃ = 5 . 25 = 125;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 125 = 625.

+) Ta có: u_n = 5u_{n – 1}, suy ra \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 5\) với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 1, công bội q = 5 và có số hạng tổng quát u_n = u₁ . q^{n – 1} = 1 . 5^{n – 1} = 5^{n – 1}.