Câu hỏi:

13/07/2024 9,039

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0 và đường tròn (C): (x + 1)2 + (y + 2)2 = 9.

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua ĐOy.

b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Trục Oy: x = 0.

Thế x = 0 vào phương trình d, ta được 0 – y + 3 = 0 ⇔ y = 3.

Suy ra giao điểm của d và Oy là P(0; 3).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0 và đường tròn (C): (x + 1)2 + (y + 2)2 = 9. a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua ĐOy. b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx. (ảnh 1)

Chọn điểm M(1; 4) ∈ d: x – y + 3 = 0

Ta đặt M’ = ĐOy(M).

Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).

Ta có M'P=1;1.

Gọi d’ là ảnh của d qua ĐOy.

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương M'P=1;1.

Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến nd'=1;1.

Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến nd'=1;1 nên phương trình d’ là: 1.(x – 0) + 1.(y – 3) = 0 hay x + y – 3 = 0.

b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0 và đường tròn (C): (x + 1)2 + (y + 2)2 = 9. a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua ĐOy. b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx. (ảnh 2)

Ta đặt I’ = ĐOx(I).

Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox

Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).

Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.

Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính R’ = R = 3.

Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I(3; 4), bán kính R = 5.

a)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25 và đường thẳng ∆: 2x + 3y + 4 = 0. a) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Oy. c) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục d: x – y – 3 = 0. (ảnh 1)

⦁ Gọi (C1) là ảnh của (C) qua ĐOx, khi đó (C1) có tâm I1 là ảnh của I(3; 4) ĐOx và bán kính R1 = R = 5.

Ta có I1 = ĐOx(I).

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn II1

Do đó hai điểm I(3; 4) và I1 có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I1(3; –4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx là đường tròn (C1) có phương trình là:

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25.

⦁ Trục Ox: y = 0.

Với y = 0, ta có 2x + 3.0 + 4 = 0 ⇔ x = –2.

Suy ra giao điểm của ∆ và trục Ox là điểm P(–2; 0).

Khi đó P = ĐOx(P).

Chọn M(1; –2) ∈ ∆.

Gọi M1 và ∆1 theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua ĐOx.

Ta thấy Ox là đường trung trực của đoạn MM1.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M1 có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M1(1; 2).

Ta có M1P=3;2.

Đường thẳng ∆1 có vectơ chỉ phương M1P=3;2.

Suy ra ∆1 có vectơ pháp tuyến nΔ1=2;3.

Vậy đường thẳng ∆1 đi qua P(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến nΔ1=2;3 nên có phương trình là:

2(x + 2) – 3(y – 0) = 0 hay 2x – 3y + 4 = 0.

b)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25 và đường thẳng ∆: 2x + 3y + 4 = 0. a) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Oy. c) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục d: x – y – 3 = 0. (ảnh 2)

⦁ Gọi (C2) là ảnh của (C) qua ĐOy, khi đó (C2) có tâm I2 là ảnh của I(3; 4) qua ĐOy và bán kính R2 = R = 5.

Ta có I2 = ĐOy(I).

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II2.

Do đó hai điểm I(3; 4) và I2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I2(–3; 4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua ĐOy là đường tròn (C2) có phương trình là:

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25.

⦁ Trục Oy: x = 0.

Với x = 0, ta có 2.0 + 3y + 4 = 0 ⇔ y=43.

Suy ra giao điểm của ∆ và trục Oy là điểm Q0;43.

Khi đó Q = ĐOy(Q).

Chọn M(1; –2) ∈ ∆.

Gọi M2 và ∆2 theo thứ tự là ảnh của M và ∆ qua ĐOy.

Ta thấy Oy là đường trung trực của đoạn MM2.

Do đó hai điểm M(1; –2) và M2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M2(–1; –2).

Ta có M2Q=1;23.

Đường thẳng ∆2 có vectơ chỉ phương u2=3M2Q=3;2.

Suy ra ∆2 có vectơ pháp tuyến nΔ2=2;3.

Vậy đường thẳng ∆2 đi qua M2(–1; –2) và có vectơ pháp tuyến nΔ2=2;3 nên có phương trình là:

2(x + 1) – 3(y + 2) = 0 hay 2x – 3y – 4 = 0.

c)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25 và đường thẳng ∆: 2x + 3y + 4 = 0. a) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục Oy. c) Tìm ảnh của (C) và ∆ qua phép đối xứng trục d: x – y – 3 = 0. (ảnh 3)

⦁ Gọi (C3) là ảnh của (C) qua Đd, khi đó (C2) có tâm I3 là ảnh của I(3; 4) qua Đd và bán kính R3 = R = 5.

Ta có I3 = Đd(I).

Suy ra d là đường trung trực của đoạn II3 nên II3 ⊥ d tại trung điểm của II3.

Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến nd=1;1.

Suy ra đường thẳng II3 có vectơ chỉ phương nd=1;1.

Do đó đường thẳng II3 có vectơ pháp tuyến u=1;1.

Vì vậy đường thẳng II3 đi qua điểm I(3; 4) và nhận u=1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x – 3) + 1(y – 4) = 0 ⇔ x + y – 7 = 0.

Gọi H là giao điểm của II3 và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình xy3=0x+y7=0x=5y=2

Do đó tọa độ H(5; 2).

Ta có H là trung điểm II3.

Suy ra x+y+2=0xy3=0x=12y=52

Do đó tọa độ I3(7; 0).

Vậy ảnh của đường tròn (C) qua Đd là đường tròn (C3) có phương trình là:

(x – 7)2 + y2 = 25.

⦁ Gọi R là giao điểm của ∆ và d.

Suy ra tọa độ R thỏa mãn hệ phương trình: xI3=2xHxI=2.53=7yI3=2yHyI=2.24=0

Do đó tọa độ R(1; –2).

Khi đó R = Đd(R).

Chọn N(–2; 0) ∈ ∆: 2x + 3y + 4 = 0.

Gọi N’ và ∆3 theo thứ tự là ảnh của N và ∆ qua Đd.

Ta thấy d là đường trung trực của đoạn NN’.

Mà đường thẳng d: x – y – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến nd=1;1.

Suy ra đường thẳng NN’ có vectơ chỉ phương nd=1;1.

Do đó đường thẳng NN’ có vectơ pháp tuyến u=1;1.

Vì vậy đường thẳng NN’ đi qua N(–2; 0) và nhận u=1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x + 2) + 1(y – 0) = 0 ⇔ x + y + 2 = 0.

Gọi K là giao điểm của NN’ và đường thẳng d.

Suy ra tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình: x+y+2=0xy3=0x=12y=52

Do đó tọa độ K12;52.

Ta có K là trung điểm NN’.

Suy ra xN'=2xKxN=2.12+2=3yN'=2yKyN=2.520=5

Do đó tọa độ N’(3; –5).

Với R(1; –2), ta có N'R=2;3.

Đường thẳng ∆3 có vectơ chỉ phương N'R=2;3.

Suy ra ∆3 có vectơ pháp tuyến nΔ3=3;2.

Vậy đường thẳng ∆3 đi qua N’(3; –5) và nhận nΔ3=3;2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

3(x – 3) + 2(y + 5) = 0 hay 3x + 2y + 1 = 0.

Lời giải

Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song a, b. Tìm vị trí điểm M bên bờ a và N bên bờ b để xây dựng một chiếc cầu MN sao cho MN vuông góc với a, b và tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất.   (ảnh 2)

Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.

Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua Đd.

Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua Đd.

Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua Đd.

Do đó A’N = AM.

Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B qua Đb.

Suy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.

Mà N b (giả thiết).

Do đó NB’ = NB.

Ta có AM + NB = A’N + NB’.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: A’N + NB’ ≥ A’B’.

Do đó tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất khi và chỉ khi A’N + NB’ = A’B’.

Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.

Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đd(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, A’ = Đd(A), B’ = Đb(B).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP