Câu hỏi:
13/07/2024 2,110Cho tứ diện ABCD. Lấy G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
a) Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G1G2G3) với mặt phẳng (ABD).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a)
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.
Trong mp(ABC), xét DABC có G1 là trọng tâm của tam giác nên \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}\);
Trong mp(ACD), xét DACD có G2 là trọng tâm của tam giác nên \(\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\);
Trong mp(ABD), xét DABD có G3 là trọng tâm của tam giác nên \(\frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\).
Trong mp(AMP), xét DAMP có \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\) nên G1G3 // MP (theo định lí Thalès đảo).
Mà MP ⊂ (BCD) nên G1G3 // (BCD).
Chứng minh tương tự ta cũng có \[\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\] nên G2G3 // NP (theo định lí Thalès đảo).
Mà NP ⊂ (BCD) nên G2G3 // (BCD).
Ta có: G1G3 // (BCD);
G2G3 // (BCD);
G1G3, G2G3 cắt nhau tại G3 và cùng nằm trong mp(G1G2G3).
Do đó (G1G2G3) // (BCD).
b)
Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.
Giả sử (ABD) ∩ (G1G2G3) = d.
Ta có: (G1G2G3) // (BCD);
(ABD) ∩ (BCD) = BD;
(ABD) ∩ (G1G2G3) = d.
Suy ra d // BD.
Mà G3 ∈ (ABD) và G3 ∈ (G1G2G3) nên G3 là giao điểm của (G1G2G3) và (ABD).
Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G1G2G3) và (ABD) đi qua điểm G3 và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.
Vậy (G1G2G3) ∩ (ABD) = IK.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).
b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính \[\frac{{AN}}{{NC}}\].
Câu 2:
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).
Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu điểm chung? Các điểm chung đó có tính chất gì?
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
về câu hỏi!