Cho tứ diện ABCD. Lấy G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng (G₁G₂G₃) // (BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G₁G₂G₃) với mặt phẳng (ABD).

Lời giải

a)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.

Trong mp(ABC), xét DABC có G₁ là trọng tâm của tam giác nên \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}\);

Trong mp(ACD), xét DACD có G₂ là trọng tâm của tam giác nên \(\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{2}{3}\);

Trong mp(ABD), xét DABD có G₃ là trọng tâm của tam giác nên \(\frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\).

Trong mp(AMP), xét DAMP có \(\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\) nên G₁G₃­ // MP (theo định lí Thalès đảo).

Mà MP ⊂ (BCD) nên G₁G₃­ // (BCD).

Chứng minh tương tự ta cũng có \[\frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}\] nên G₂G₃ // NP (theo định lí Thalès đảo).

Mà NP ⊂ (BCD) nên G₂G₃­ // (BCD).

Ta có: G₁G₃­ // (BCD);

           G₂G₃­ // (BCD);

           G₁G₃, G₂G₃ cắt nhau tại G₃ và cùng nằm trong mp(G₁G₂G₃).

Do đó (G₁G₂G₃) // (BCD).

b)

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.

Giả sử (ABD) ∩ (G₁G₂G₃) = d.

Ta có: (G₁G₂G₃) // (BCD);

           (ABD) ∩ (BCD) = BD;

           (ABD) ∩ (G₁G₂G₃) = d.

Suy ra d // BD.

Mà G₃ ∈ (ABD) và G₃ ∈ (G₁G₂G₃) nên G_3­ là giao điểm của (G₁G₂G₃) và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G₁G₂G₃) và (ABD) đi qua điểm G₃ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy (G₁G₂G₃) ∩ (ABD) = IK.