Hai mặt phẳng (SAB) và (MCD) có M là điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Từ M, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt SB tại N. Khi đó (SAB) ∩ (MCD) = MN.

Do vậy N là giao điểm của SB và mặt phẳng (MCD).

Ta có MA = 2MS $\Rightarrow \frac{S M}{S A} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác SAB có MN // AB, theo định lí Thalés ta có: $\frac{S N}{S B} = \frac{S M}{S A} = \frac{1}{3}$ .

Câu 3/12

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (ABD) cắt cạnh AC tại N. Tỉ số $\frac{A N}{N C}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$ .

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (ABD) cắt cạnh AC tại N. Tỉ số bằng: A. . B. 1. C. 2. D. 3. (ảnh 1)

Trong mặt phẳng (BCD), từ M kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.

Trong mặt phẳng (ABC), từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N.

Từ đó suy ra (MNE) // (ABD) hay mặt phẳng (MNE) chính là mặt phẳng (P).

Ta có MB = 2MC $\Rightarrow \frac{B M}{M C} = 2$ .

Xét tam giác ABC có MN // AB, theo định lí Thalés ta có: $\frac{A N}{N C} = \frac{B M}{M C} = 2$ .

Câu 4/12

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh CD lấy hai điểm M và N khác nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng AM và BN không cắt nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh CD lấy hai điểm M và N khác nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng AM và BN không cắt nhau. (ảnh 1)

Giả sử hai đường thẳng AM và BN cắt nhau.

Khi đó, qua AM và BN có một mặt phẳng (P).

Do M, N thuộc (P) nên đường thẳng MN nằm trong (P) hay CD nằm trong (P).

Suy ra A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng, mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy AM và BN không cắt nhau.

Câu 5/12

Cho mặt phẳng (P), ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại các điểm M, N, P thì M, N, P thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Cho mặt phẳng (P), ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại các điểm M, N, P thì M, N, P thẳng hàng. (ảnh 1)

Do ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên qua ba điểm A, B, C có một mặt phẳng, gọi là (ABC).

Vì M ∈ AB nên M ∈ (ABC).

Tương tự, ta có N và P đều thuộc (ABC).

Mà M, N, P đều thuộc mặt phẳng (P).

Suy ra M, N, P là ba điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (P).

Do đó, M, N, P cùng thuộc giao tuyến của (ABC) và (P).

Vậy M, N, P thẳng hàng.

Câu 6/12

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh SD.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Xác định giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MBC) với các mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b) Xác định giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC). c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MBC) với các mặt phẳng (SAB) và (SAD). (ảnh 1)

a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có chung điểm S.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của BM và SO.

Vì I ∈ SO và SO ⊂ (SAC) nên I ∈ (SAC).

Vậy I là giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).

c) Trong mặt phẳng (SAC), gọi N là giao điểm của CI và SA.

Ta có N ∈ SA và SA ⊂ (SAB) nên N ∈ (SAB); N ∈ CI và CI ⊂ (MBC) nên N ∈ (MBC).

Do đó, N là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (MBC).

Lại có hai mặt phẳng (SAB) và (MBC) có điểm chung B.

Do vậy, BN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAB).

Lại có N ∈ SA và SA ⊂ (SAD) nên N ∈ (SAD) nên N là điểm chung của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD).

Vì M ∈ SD và SD ⊂ (SAD) nên M ∈ (SAD), mà M ∈ (MBC) nên M là một điểm chung của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (SAD) là đường thẳng MN.

Câu 7/12