Ta có \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = \frac{{\frac{{25}}{{28}}}}{{\frac{{25}}{{28}}}} = 1\).

Câu 2/20

Nếu \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) thì giá trị của \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}\).

B. \(\sqrt 6 - 3\).

C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{6} - 3\).

D. \(\sqrt 6 - \frac{1}{2}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên cos α > 0, do đó từ sin² α + cos² α = 1, suy ra

\(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Ta có \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\)\( = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \,\sin \frac{\pi }{3}\)\( = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}\).

Câu 3/20

Nếu \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) thì giá trị của biểu thức \(P = \left( {1 - 3\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right)\) bằng:

A. \(\frac{{11}}{9}\).

B. \(\frac{{12}}{9}\).

C. \(\frac{{13}}{9}\).

D. \(\frac{{14}}{9}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \(P = \left( {1 - 3\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right)\)

\( = \left[ {1 - 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)} \right]\left[ {2 + 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)} \right]\)

\( = \left( { - 2 + 6{{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {5 - 6{{\sin }^2}\alpha } \right)\)

\( = \left[ { - 2 + 6.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right].\left[ {5 - 6.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right] = \frac{{14}}{9}\).

Câu 4/20

Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4}\).

B. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).

C. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2}\).

D. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2sin² x cos² x (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin x cos x)² = \(1 - 2{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{4} = 1 - \frac{{2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)}}{4}\)

\( = 1 - \frac{{2 - 2{{\cos }^2}2x}}{4} = \frac{{4 - 2 + 2{{\cos }^2}2x}}{4}\)\( = \frac{{3 + \left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)}}{4} = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).

Vậy \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).

Câu 5/20

Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là:

A. – 2cos x.

B. – cos x.

C. 0.

D. sin x – cos x.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x

= cos 120° cos x + sin 120° sin x + cos 120° cos x – sin 120° sin x – cos x

= 2 cos 120° cos x – cos x

= 2 . \(\left( { - \frac{1}{2}} \right)\) . cos x – cos x

= – cos x – cos x

= – 2 cos x.

Câu 6/20

Nếu \(\cos a = \frac{3}{4}\) thì giá trị của \(\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}\) bằng:

A. \(\frac{{23}}{{16}}\).

B. \(\frac{7}{8}\).

C. \(\frac{7}{{16}}\).

D. \(\frac{{23}}{8}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} = {\cos ^2}\frac{a}{2} = \frac{{1 + \cos 2.\frac{a}{2}}}{2} = \frac{{1 + \cos a}}{2} = \frac{{1 + \frac{3}{4}}}{2} = \frac{7}{8}\).

Câu 7/20

Nếu \(\cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) thì giá trị của biểu thức \(A = 4\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right)\) bằng:

A. \( - \frac{{11}}{9}\).

B. \(\frac{{11}}{9}\).

C. \( - \frac{1}{9}\).

D. \(\frac{1}{9}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(A = 4\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( = 4.\left( { - \frac{1}{2}} \right).\left[ {\cos \left( {a + \frac{\pi }{3} + a - \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {a + \frac{\pi }{3} - a + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]\)

\( = - 2\left( {\cos 2a - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

\( = - 2\left[ {\left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right) - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]\)

\( = - 2\left[ {2.{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} - 1 + \frac{1}{2}} \right] = - \frac{{11}}{9}\).

Câu 8/20

Nếu \(\cos a = \frac{1}{3},\,\,\sin b = \frac{{ - 2}}{3}\) thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng:

A. \( - \frac{2}{3}\).

B. \(\frac{1}{3}\).

C. \(\frac{2}{3}\).

D. \( - \frac{1}{3}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có cos(a + b) cos(a − b) \( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) + \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right) + \left( {1 - 2{{\sin }^2}b} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}.\left[ {2.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 2.{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}} \right] = - \frac{1}{3}\).

Câu 9/20