Cho \(\sin a = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính:

\(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right),\,\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right),\,\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\);

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Các phép biến đổi lượng giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

\(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4}\)\( = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{6}\).

\(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\)\( = \cos a\cos \frac{{5\pi }}{6} + \sin a\sin \frac{{5\pi }}{6}\)\( = \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right).\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) + \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt {15} + 2}}{6}\).

\(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)\( = \frac{{\tan a + \tan \frac{{2\pi }}{3}}}{{1 - \tan a\tan \frac{{2\pi }}{3}}} = \frac{{ - \frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \left( { - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{8\sqrt 5 + 9\sqrt 3 }}{7}\).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4}\).

B. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).

C. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2}\).

D. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2}\).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2sin² x cos² x (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin x cos x)² = \(1 - 2{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{4} = 1 - \frac{{2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)}}{4}\)

\( = 1 - \frac{{2 - 2{{\cos }^2}2x}}{4} = \frac{{4 - 2 + 2{{\cos }^2}2x}}{4}\)\( = \frac{{3 + \left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)}}{4} = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).

Vậy \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\).

Câu 2

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

\(\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2} = 1\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(\frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\), suy ra \(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\) nên \(\tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}\)

\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2} = 1\).

Câu 3