\(\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = 0\) do \(\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right| < 1\);

\(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\) do \(\left| { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| < 1\).

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì \(\left| {\frac{3}{2}} \right| > 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} \ne 0\), do đó đáp án B sai.

Câu 2/23

Cho limu_n = a, lim v_n = b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim(u_n + v_n) = a + b.

B. lim(u_n – v_n) = a – b.

C. lim(u_n . v_n) = a . b.

D. \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}\).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Câu 3/23

Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng:

A. 0.

B. –∞.

C. +∞.

D. –∞ hoặc +∞.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\).

Câu 4/23

Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C > 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = +∞.

B. Nếu limu_n = −∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = +∞.

C. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)= 0.

D. Nếu limu_n = –∞ và limv_n = C, C > 0 thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = - \infty \).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)= –∞ nên đáp án C sai.

Câu 5/23

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu limu_n = a thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

B. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

C. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0.

D. Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

Câu 6/23

Chứng minh rằng \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0\).

Xem đáp án

Lời giải

Xét dãy số (u_n) có \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\).

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} \right| = \frac{1}{{{n^2}}}\).

Do đó, \(\left| {{u_n}} \right| < h \Leftrightarrow \frac{1}{{{n^2}}} < h \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \sqrt h \Leftrightarrow n > \frac{1}{{\sqrt h }}\).

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn \(\frac{1}{{\sqrt h }}\) thì |u_n| < h.

Suy ra \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0\).

Câu 7/23

Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với \({u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}\), \({v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}\). Tính:

limu_n, limv_n;

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

\[\lim {u_n} = \lim \left( {3 - \frac{4}{{n + 1}}} \right) = \lim 3 - \lim \frac{4}{{n + 1}} = 3 - 0 = 3\];

\(\lim {v_n} = \lim \left( {8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}} \right) = \lim 8 - \lim \frac{5}{{3{n^2} + 2}} = 8 - 0 = 8\).

Câu 8/23

Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với \({u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}\), \({v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}\). Tính:

lim(u_n+ v_n), lim(u_n – v_n), lim(u_n . v_n), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

lim(u_n+ v_n) = limu_n + limv_n = 3 + 8 = 11;

lim(u_n – v_n) = limu_n – limv_n = 3 – 8 = – 5;

lim(u_n . v_n) = limu_n . limv_n = 3 . 8 = 24;

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)\( = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{8}\).

Câu 9/23