Câu hỏi:
13/07/2024 638Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính Sn, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có: \({S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}}} \right)\).
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}} + ...} \right)\).
Vì \(\frac{{100}}{4};\,\frac{{100}}{{{4^2}}};\,\frac{{100}}{{{4^3}}};...;\frac{{100}}{{{4^n}}};...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{{100}}{4}\) và công bội \(q = \frac{1}{4} < 1\) nên ta có \(\lim {S_n} = 100 + 2.\frac{{\frac{{100}}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{500}}{3}\).
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là \(\frac{{500}}{3}\) m.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}\);
Câu 2:
Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = 0\).
B. \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = 0\).
C. \(\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = 0\).
D. \(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\).
Câu 3:
Câu 4:
Cho limun = a, lim vn = b. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. lim(un + vn) = a + b.
B. lim(un – vn) = a – b.
C. lim(un . vn) = a . b.
D. \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}\).
Câu 5:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{3n + 4}}{{ - 5 + \frac{2}{n}}}\);
Câu 6:
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu limun = a thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
B. Nếu limun = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
C. Nếu limun = a thì a ≥ 0.
D. Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
về câu hỏi!