Câu hỏi:
13/07/2024 1,723
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính Sn, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính Sn, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có: \({S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}}} \right)\).
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: \(\lim {S_n} = 100 + 2\left( {\frac{{100}}{4} + \frac{{100}}{{{4^2}}} + \frac{{100}}{{{4^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{4^n}}} + ...} \right)\).
Vì \(\frac{{100}}{4};\,\frac{{100}}{{{4^2}}};\,\frac{{100}}{{{4^3}}};...;\frac{{100}}{{{4^n}}};...\) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{{100}}{4}\) và công bội \(q = \frac{1}{4} < 1\) nên ta có \(\lim {S_n} = 100 + 2.\frac{{\frac{{100}}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{{500}}{3}\).
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là \(\frac{{500}}{3}\) m.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
- Trọng tâm Sử, Địa, GD KTPL 11 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025 ( 38.000₫ )
- Trọng tâm Hóa học 11 dùng cho cả 3 bộ sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack - Sách 2025 ( 58.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\(\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}\)\( = \lim \frac{{{n^3}\left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}}\)\( = \lim \frac{{1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}}}\)
\( = \frac{{\lim \left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = + \infty \) (do \(\lim \left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 1\) và \(\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^3}}}} \right) = 0\)).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì limqn = 0 với |q| < 1 nên ta có:
\(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\) do \(\left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\);
\(\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = 0\) do \(\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right| < 1\);
\(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\) do \(\left| { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| < 1\).
Vậy các đáp án A, C, D đúng.
Vì \(\left| {\frac{3}{2}} \right| > 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} \ne 0\), do đó đáp án B sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.