Với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) (L, M ∈ ℝ) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) (nếu M ≠ 0).

Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.

Câu 2/28

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n< b và x_n → L, ta có f(x_n) → x₀ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

Câu 3/28

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \).

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).

Câu 4/28

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

B. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0.

c. Nếu f(x) ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

D. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x) ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

Câu 5/28

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n→ +∞, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n→ L, ta có f(x_n) →+∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n→ +∞, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

Câu 6/28

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8\).

Xem đáp án

Lời giải

Xét hàm số f(x) = x³. Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn limx_n = – 2.

Ta có limf(x_n) = \(\lim x_n^3 = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8\).

Câu 7/28

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4\).

Xem đáp án

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\).

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n ≠ – 2 và lim x_n = – 2.

Ta có \(\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 - 4}}{{{x_n} + 2}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 2} \right)\left( {{x_n} + 2} \right)}}{{{x_n} + 2}} = \lim \left( {{x_n} - 2} \right) = - 4\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4\).

Câu 8/28

Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12\);

Xem đáp án

Lời giải

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 3.4 = 12\).

Câu 9/28