Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\).

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\).

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\).

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x­₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → L, ta có f(x_n) → x₀ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L\).

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \).

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = - \infty \).

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

B. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0.

c. Nếu f(x) ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

D. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì L ≥ 0 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a, ta có f(x_n) → L thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → L, ta có f(x_n) →+∞ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\).

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^3} = - 8\).

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = - 4\).

Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 3f\left( x \right) = 12\);

Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{4} = 1\);

Cho\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 4\), chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {f\left( x \right)} = 2\).

Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right);\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right)\).

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4x + 1}}{{{x^2} - x + 3}}\);

Tính các giới hạn sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{2{x^2} + 3}}\);

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x + 3}}{{3{x^2} + 2x + 5}}\);

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Tính các giới hạn sau:

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\);

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 4}}{{x - 1}} = 2\). Tính:

Cho hàm số f(x) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\,022\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{xf\left( x \right)}}{{x + 1}}\).  

Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = - \infty \). Chứng minh rằng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{2f\left( x \right) + 1}} = \frac{1}{2}\).

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t² – t³ (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t₁, t₂ là \({V_{tb}} = \frac{{g\left( {{t_2}} \right) - g\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 10} \frac{{g\left( t \right) - g\left( {10} \right)}}{{t - 10}}\) và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.