Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với mọi n ≥ 2. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:

A. 2; 1; \(\frac{3}{2}\).

B. 2; \(\frac{3}{2};\,\,\frac{5}{2}\).

C. 2; \(\frac{3}{2};\,\,\frac{5}{4}\).

D. 2; \(\frac{3}{2}\); 2.

Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Số hạng u₁₀ là:

A. \(\frac{{19}}{{12}}\).

B. \(\frac{{33}}{{34}}\).

C. \(\frac{{199}}{{102}}\).

D. \(\frac{3}{4}\).

Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{3n - 2}}\). Với \({u_k} = \frac{8}{{19}}\) là số hạng của dãy số thì k bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Cho dãy số (u_n) biết u_n = 3ⁿ. Số hạng u_{n + 1} bằng:

A. 3ⁿ . 3.

B. 3ⁿ + 3.

C. 3ⁿ + 1.

D. 3(n + 1).

Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\).

B. u_n = n³.

C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).

D. \({u_n} = \sqrt n \).

Cho dãy số (u_n) biết u_n = cos n. Dãy số (u_n) là:

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u_n), biết u_n = 3n – 1.

Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và \({u_n} = \sqrt {2 + u_{n - 1}^2} \) với mọi n ≥ 2. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2{x^2} + 1}}\) có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi A_n là giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng x = n. Xét dãy số (u_n), biết u_n là tung độ của điểm A_n. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Cho dãy số (u_n), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).

Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

Cho dãy số (u_n), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).

Chứng minh rằng u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

Cho dãy số (u_n), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).

Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

u_n = 3ⁿ – n;

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

\({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\);

Cho dãy số (u_n) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) với a là số thực. Tìm a để dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Chứng minh rằng:

Dãy số (u_n) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \) bị chặn dưới;

Chứng minh rằng:

Với mỗi số nguyên dương n, lấy n + 6 điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi u_n là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số (u_n). Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.