Câu hỏi:
18/07/2023 268Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:
\({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\);
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có un + 1 = \(\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}\) = \(\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{{2.2}^n}}}\).
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{{{2.2}^n}}} - \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}} = \frac{{\sqrt {n + 1} - 2\sqrt n }}{{{{2.2}^n}}}\) \( = \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt {4n} }}{{{{2.2}^n}}}\)
\( = \frac{{n + 1 - 4n}}{{{{2.2}^n}\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} } \right)}} = \frac{{ - 3n + 1}}{{{{2.2}^n}\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} } \right)}} < 0\) với mọi n ∈ ℕ*.
(do – 3n + 1 < 0, 2n > 0 và \(\sqrt {n + 1} + \sqrt {4n} > 0\) với mọi n ∈ ℕ*).
Do vậy, un + 1 < un với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{\sqrt n }}{{{2^n}}}\) là dãy số giảm.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 3:
Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số giảm là:
A. \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\).
B. un = n3.
C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).
D. \({u_n} = \sqrt n \).
Câu 4:
Cho dãy số (un) biết un = 3n. Số hạng un + 1 bằng:
A. 3n . 3.
B. 3n + 3.
C. 3n + 1.
D. 3(n + 1).
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2{x^2} + 1}}\) có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi An là giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng x = n. Xét dãy số (un), biết un là tung độ của điểm An. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát un.
Câu 6:
Cho dãy số (un), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).
Chứng minh rằng un + 4 = un với mọi n ≥ 1.
Câu 7:
Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Số hạng u10 là:
A. \(\frac{{19}}{{12}}\).
B. \(\frac{{33}}{{34}}\).
C. \(\frac{{199}}{{102}}\).
D. \(\frac{3}{4}\).
về câu hỏi!