Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Cấp số nhân có đáp án

Xét từng đáp án, ta có:

+ Đáp án A: \(\frac{{ - 64}}{{128}} = \frac{{32}}{{ - 64}} = \frac{{ - 16}}{{32}} = \frac{8}{{ - 16}} = \frac{{ - 1}}{2}\), do đó dãy số 128; – 64; 32; – 16; 8 lập thành một cấp số nhân có công bội \(\frac{{ - 1}}{2}\).

+ Đáp án B: \(\frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \ne 2 = \frac{8}{4}\), do đó dãy số \(\sqrt 2 ;\,\,2;\,\,2\sqrt 2 ;\,\,4;\,\,8\) không phải cấp số nhân.

+ Đáp án C: \(\frac{6}{5} \ne \frac{7}{6}\), do đó dãy số 5; 6; 7; 8; 9 không phải cấp số nhân.

+ Đáp án D: \(\frac{5}{{15}} = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{5}\), do đó dãy số 15; 5; 1; \(\frac{1}{5};\,\,\frac{1}{{25}}\) không phải cấp số nhân.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = 5ⁿ là một cấp số nhân.

Thật vậy, ta thấy u_n ≠ 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Ta có: u₁ = 5¹ = 5; \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{\frac{{{5^n}}}{5}}} = 5\) không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = 5ⁿ là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = u₁ . q⁴ = 2 . (– 2)⁴ = 32.

Đáp án đúng là: D

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1, công bội q, bốn số hạng xen giữa 1 và – 243 lần lượt là u₂, u₃, u₄, u₅; và số hạng thứ 6 là u₆ = – 243.

Ta có u₆ = u₁ . q⁵ = q⁵ = – 243 = (– 3)⁵, suy ra q = – 3.

Do đó, bốn số hạng cần tìm lần lượt là: u₂ = u₁ . q = 1 . (– 3) = – 3;

u₃ = u₂ . q = (– 3) . (– 3) = 9;

u₄ = u₃ . q = 9 . (– 3) = – 27;

u₅ = u₄ . q = (– 27) . (– 3) = 81.

Đáp án đúng là: C

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₂ . u₆ = (u₁ . q) . (u₁ . q⁵) = \(u_1^2.{q^6}\).

Và \({u_3}.{u_5} = \left( {{u_1}.{q^2}} \right).\left( {{u_1}.{q^4}} \right) = u_1^2.{q^6}\).

Do đó, u₃ . u₅ = u₂ . u₆ = 64.

Đáp án đúng là: B

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₈ = u₁ . q⁷ = \(\frac{{{q^7}}}{3}\). Mà u₈ = 729 nên \(\frac{{{q^7}}}{3} = 729 \Rightarrow {q^7} = 2187\).

Vì 2 187 = 3⁷, suy ra q = 3.

Vậy tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

\({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{3}.\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{{3^8} - 1}}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Hình vuông C₁ có diện tích S₁ = 1.

Hình vuông C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁, do đó hình vuông C₂ có diện tích S₂ = \(\frac{1}{2}{S_1} = \frac{1}{2}\).

Tương tự, hình vuông C₃ có diện tích \({S_3} = \frac{1}{2}{S_2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{{2^2}}}\).

Cứ tiếp tục như thế ta tính được diện tích hình vuông C₂₀₂₃ là \({S_{2023}} = \frac{1}{{{2^{2022}}}}\).

Do ba số \(\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

\(\frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{b - a - 2b}}{{b\left( {b - a} \right)}} = \frac{{2b - \left( {b - c} \right)}}{{b\left( {b - c} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - a - b}}{{b - a}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}\) (do b ≠ 0)

\( \Rightarrow \left( { - a - b} \right)\left( {b - c} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {b + c} \right)\)

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² + bc – ab – ac

⇔ ac – b² = b² – ac

⇔ 2b² = 2ac

⇔ b² = ac

\( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\).

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.