Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ^*.

Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 1. Gọi C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁; C₃ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₂; ... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông C₁; C₂; C₃; ...; C_n; ... Diện tích của hình vuông C₂₀₂₃ là:

A. \(\frac{1}{{{2^{2022}}}}\).

B. \(\frac{1}{{{2^{2023}}}}\).

C. \(\frac{1}{{{2^{1011}}}}\).

D. \(\frac{1}{{{2^{1012}}}}\).

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351.\end{array} \right.\)

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 16\\{u_2} + {u_4} = 40;\end{array} \right.\)

Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10%. Tính tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).

Cho (u_n) là cấp số nhân có \({u_1} = \frac{1}{3}\); u₈ = 729.

Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

A. \(\frac{{1 - {3^8}}}{2}\).

B. \(\frac{{{3^8} - 1}}{6}\).

C. \(\frac{{{3^8} - 1}}{2}\).

D. \(\frac{{1 - {3^8}}}{6}\).

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. 128; – 64; 32; – 16; 8.

B. \(\sqrt 2 ;\,\,2;\,\,2\sqrt 2 ;\,\,4;\,\,8\).

C. 5; 6; 7; 8; 9.

D. 15; 5; 1; \(\frac{1}{5};\,\,\frac{1}{{25}}\).

Cho dãy số (u­_n) biết u₁ = 1, \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - \,1}} + 1\) với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}\) với n ∈ ℕ^*.

Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).