Cho ba số $\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Cấp số nhân có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do ba số $\frac{2}{{b - a}},\,\,\frac{1}{b},\,\frac{2}{{b - c}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b}$

$ \Leftrightarrow \frac{{b - a - 2b}}{{b\left( {b - a} \right)}} = \frac{{2b - \left( {b - c} \right)}}{{b\left( {b - c} \right)}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{ - a - b}}{{b - a}} = \frac{{b + c}}{{b - c}}$ (do b ≠ 0)

$ \Rightarrow \left( { - a - b} \right)\left( {b - c} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {b + c} \right)$

⇔ – ab + ac – b² + bc = b² + bc – ab – ac

⇔ ac – b² = b² – ac

⇔ 2b² = 2ac

⇔ b² = ac

$ \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$.

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 1. Gọi C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁; C₃ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₂; ... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông C₁; C₂; C₃; ...; C_n; ... Diện tích của hình vuông C₂₀₂₃ là:

A. $\frac{1}{{{2^{2022}}}}$.

B. $\frac{1}{{{2^{2023}}}}$.

C. $\frac{1}{{{2^{1011}}}}$.

D. $\frac{1}{{{2^{1012}}}}$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Hình vuông C₁ có diện tích S₁ = 1.

Hình vuông C₂ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁, do đó hình vuông C₂ có diện tích S₂ = $\frac{1}{2}{S_1} = \frac{1}{2}$.

Tương tự, hình vuông C₃ có diện tích ${S_3} = \frac{1}{2}{S_2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{{{2^2}}}$.

Cứ tiếp tục như thế ta tính được diện tích hình vuông C₂₀₂₃ là ${S_{2023}} = \frac{1}{{{2^{2022}}}}$.

Câu 2

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 351.\end{array} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

$\{\begin{cases} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 13 \\ u_{4} + u_{5} + u_{6} = 351 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + u_{1} q + u_{1} q^{2} = 13 \\ u_{1} q^{3} + u_{1} q^{4} + u_{1} q^{5} = 351 \end{cases}$

Ta có $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} (1 + q + q^{2}) = 13 (1) \\ u_{1} q^{3} (1 + q + q^{2}) = 351 (2) \end{cases}$

Lấy (2) chia vế theo vế cho (1), ta được q³ = 27, suy ra q = 3.

Ta có u₁(1 + 3 + 3²) = 13 ⇔ 13u₁ = 13 ⇔ u₁ = 1.

Vậy u₁ = 1, q = 3.

Câu 3