Tính các giới hạn sau:

\(\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}\);

Đáp án đúng là: B

Vì limqⁿ = 0 với |q| < 1 nên ta có:

\(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0\) do \(\left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\);

\(\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = 0\) do \(\left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right| < 1\);

\(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\) do \(\left| { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right| < 1\).

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì \(\left| {\frac{3}{2}} \right| > 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} \ne 0\), do đó đáp án B sai.

Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ...

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; ...lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 0,3 và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\) < 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 0,0000003 + ... \( = \frac{{0,3}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{3}\).

Vậy 2,(3) = 2 + \(\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).