Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD; P, Q lần lượt thuộc các cạnh CD, BC (P, Q không là trung điểm của CD, CB). Chứng minh rằng nếu M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng MQ, NP và AC cùng đi qua một điểm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD; P, Q lần lượt thuộc các cạnh CD, BC (P, Q không là trung điểm của CD, CB). Chứng minh rằng nếu M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng MQ, NP và AC cùng đi qua một điểm. (ảnh 1)

Giả sử M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Xét tam giác ABC, do Q không là trung điểm của BC nên đường thẳng MQ cắt đường thẳng AC tại điểm S.

Khi đó, S ∈ (MNPQ) và S ∈ (ACD). Do vậy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNPQ). (1)

Do N ∈ AD nên N ∈ (ACD) và P ∈ CD nên P ∈ (ACD), suy ra NP ⊂ (ACD).

Mà NP ⊂ (MNPQ) nên NP là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNPQ). (2)

Từ (1) và (2) suy ra S ∈ NP.

Vậy ba đường thẳng MQ, NP và AC cùng đi qua điểm S.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.

a) Chứng minh rằng SC // (MNP).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SCD) và giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

c) Xác định giao điểm E của đường thẳng SA với mặt phẳng (MNP).

d) Tính tỉ số $\frac{S E}{S A}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. a) Chứng minh rằng SC // (MNP). b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SCD) và giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP). c) Xác định giao điểm E của đường thẳng SA với mặt phẳng (MNP). d) Tính tỉ số . (ảnh 1)

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác SBC, do đó MN // SC. Mà MN ⊂ (MNP).

Từ đó suy ra SC // (MNP).

b) Gọi Q là trung điểm của SD, mà P là trung điểm của CD nên PQ là đường trung bình của tam giác SCD nên SC // QP.

Hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) có điểm P chung và MN // SC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) là đường thẳng QP. Đồng thời, Q là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I là giao điểm của AC và NP.

Trong mặt phẳng (SAC), lấy E thuộc SA sao cho IE // SC.

Khi đó, ta có I ∈ (MNP) và IE // MN nên E ∈ (MNP).

Vậy E là giao điểm của SA với mặt phẳng (MNP).

d) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Ta có NP là đường trung bình của tam giác BCD nên NP // BD hay NI // BO.

Trong tam giác BOC có NI // BO và N là trung điểm của BC nên NI là đường trung bình của tam giác BOC, suy ra I là trung điểm của OC. Khi đó $\frac{C I}{C O} = \frac{1}{2}$ . Suy ra $\frac{C I}{C A} = \frac{1}{4}$ .

Xét tam giác SAC, ta có IE // SC nên $\frac{S E}{S A} = \frac{C I}{C A} = \frac{1}{4}$ .

Câu 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tỉ số $\frac{S N}{S B}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. $\frac{2}{3}$ .

D. $\frac{3}{4}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tỉ số bằng: (ảnh 1)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Ta có M ∈ SA nên M ⊂ (SAB).

Hai mặt phẳng (SAB) và (MCD) có M là điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AB và CD song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Từ M, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt SB tại N. Khi đó (SAB) ∩ (MCD) = MN.

Do vậy N là giao điểm của SB và mặt phẳng (MCD).

Ta có MA = 2MS $\Rightarrow \frac{S M}{S A} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác SAB có MN // AB, theo định lí Thalés ta có: $\frac{S N}{S B} = \frac{S M}{S A} = \frac{1}{3}$ .

Câu 3