Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD; P, Q lần lượt thuộc các cạnh CD, BC (P, Q không là trung điểm của CD, CB). Chứng minh rằng nếu M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng MQ, NP và AC cùng đi qua một điểm.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.

a) Chứng minh rằng SC // (MNP).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SCD) và giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

c) Xác định giao điểm E của đường thẳng SA với mặt phẳng (MNP).

d) Tính tỉ số $\frac{SE}{SA}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tỉ số $\frac{SN}{SB}$ bằng:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh SD.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Xác định giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MBC) với các mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Cho mặt phẳng (P), ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại các điểm M, N, P thì M, N, P thẳng hàng.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, B'C', DD'.

a) Chứng minh rằng ADC'B' là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng BD // (AB'D'), MN // (AB'D').

c) Chứng minh rằng (MNP) // (AB'D') và BD // (MNP).

d*) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình hộp.

e*) Lấy một đường thẳng cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Tính tỉ số $\frac{IJ}{JH}$.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, B'C'. Chứng minh rằng AM // (A'NC).

Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Bốn điểm A, B, C, D đã cho đôi một khác nhau.

B. Không có ba điểm nào trong bốn điểm A, B, C, D là thẳng hàng.

C. Hai đường thẳng AC và BD song song với nhau.

D. Hai đường thẳng AC và BD không có điểm chung.