Một đề trắc nghiệm có 50 câu hỏi gồm 20 câu mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng và 10 câu mức độ vận dụng cao. Xác suất để bạn An làm hết 20 câu mức độ nhận biết là 0,9; 20 câu mức độ vận dụng là 0,8 và 10 câu mức độ vận dụng cao là 0,6. Xác suất để bạn An làm trọn vẹn 50 câu là?

này phải trả lời đúng thêm 5 câu nữa.

Trong 10 câu còn lại chia làm 2 nhóm:

* Nhóm A là 3 câu đã loại trừ được một đáp án chắc chắn sai.

Nên xác suất chọn được phương án trả lời đúng là $\frac{1}{3}$, xác suất chọn được phương án trả lời sai là $\frac{2}{3}$.

* Nhóm B là 7 câu còn lại, xác suất chọn được phương án trả lời đúng là $\frac{1}{4}$, xác suất chọn được phương án trả lời sai là $\frac{3}{4}$.

Ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Có 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

Xác xuất là $P_1={\left(\frac{1}{3}\right)}^3.C_7^2.{\left(\frac{1}{4}\right)}^2.{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{189}{16384}$

• Trường hợp 2: Có 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

Xác xuất là $P_2=C_3^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2.\frac{2}{3}.C_7^3.{\left(\frac{1}{4}\right)}^3.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4=\frac{315}{8192}$.

• Trường hợp 3: Có 1 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 4 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

Xác xuất là $P_3=C_3^1\cdot \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot C_7^4\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{105}{4096}$

• Trường hợp  4: Không có câu trả lời đúng nào thuộc nhóm A và 5 câu trả lời đúng thuộc nhóm B.

Xác xuất là $P_4={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\cdot C_7^5\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^5\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{7}{2048}$.

Xác suất cần tìm là: $P=P_1+P_2+P_3+P_4=\frac{1295}{16384}=\mathrm{0,079}$.

Vậy xác suất bạn đó được 9 điểm là 0,079.

Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50 − x là số câu trả lời sai.

Ta có số điểm của Hoa là 0,2 . x − 0,1 . (50 − x) = 4 ⇔ x = 30 .

Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.

Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có 450 khả năng.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là | Ω | = 450.

Gọi X là biến cố "Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu".

Vì mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.

Vì vậy có $C_{50}^{30}$ . (3)20 khả năng thuận lợi cho biến cố X.

Suy ra số phần tử của biến cố X là | Ω X | = $C_{50}^{30}$. (3)20.

Xác suất cần tính $P\left(X\right)=\frac{\left|\Omega X\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{C_{50}^{30}.{\left(3\right)}^{20}}{4^{50}}$.

Vậy xác suất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh trong kỳ thi trên là $\frac{C_{50}^{30}.{\left(3\right)}^{20}}{4^{50}}$.