Cho hàm số y = 3x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d₁).

1. Điểm \(A\left( {\frac{1}{3};\;3} \right)\) có thuộc đường thẳng (d₁) không? Vì sao?

2. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d₁) và đường thẳng (d₂) có phương trình y = −2x + m cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2x + m cắt hai trục tạo thành tam giác có diện tích bằng 5.

1. Thay tọa độ điểm A vào công thức hàm số ta có: 

\(3\,.\,\frac{1}{3} + 2 = 1 + 2 = 3\)

Vậy \(A\left( {\frac{1}{3};\;3} \right)\) thuộc đường thẳng (d₁): y = 3x + 2.

2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d₁) và đường thẳng (d₂) là: 

3x + 2 = −2x + m 

Û m = 5x + 2 (1)

Vì (d₁) cắt (d₂) tại điểm có hoành độ bằng 1 nên x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

Khi đó m = 5.1 + 2 = 7

Vậy với m = 7 thỏa mãn yêu cầu để bài.

3. Đường thẳng y = −2x + m cắt trục hoành tại điểm M(x_M; 0), có hoành độ thỏa mãn phương trình: \( - 2{x_M} + m = 0 \Leftrightarrow {x_M} = \frac{m}{2}\)

Suy ra \(M\left( {\frac{m}{2};\;0} \right)\) và \(OM = \left| {\frac{m}{2}} \right|\)

Đường thẳng y = −2x + m cắt trục hoành tại điểm N(0; y_N), có tung độ thỏa mãn phương trình: y_N = m

Suy ra N(0; m), và ON = |m|

Đường thẳng y = −2x + m cắt hai trục tạo thành tam giác có diện tích bằng 5 nên suy ra diện tích tam giác OMN bằng 5

Do đó: \(\frac{1}{2}OM\,.\,ON = 5\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\,.\,\left| {\frac{m}{2}} \right|\,.\,\left| m \right| = 5\)

Û m² = 20

\( \Rightarrow m = 2\sqrt 5 \)

Vậy \(m = 2\sqrt 5 \) là giá của m thỏa mãn.