Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ ,\;\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ \). Biết góc giữa SB và đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC.

Ta có: ∆SAB, ∆SAC lần lượt vuông tại B, C nên:

\(BM = CM = \frac{1}{2}SA = MS = MA\)

Suy ra hình chóp M.ABC có MA = MB = MC nên hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Dựng hình bình hành ABIC ta có: IB = AC = 2a, IC = AB = 2a

Tam giác ABC cân tại A nên AN ^ BC (trung tuyến đồng thời là đường cao) và \(\widehat {BAN} = 60^\circ \) (trung tuyến đồng thời là đường phân giác).

• Xét tam giác vuông ABC có AN = AB.cos 60° = a

Þ AI = 2AN = 2a

Do đó IA = IB = IC = 2a nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Þ MI ^ (ABC)

Trong mặt phẳng (AMI) có SH // MI (H Î AI) và SH ^ (ABC)

Suy ra HB là hình chiếu của SB lên (ABC)

Do đó \(\left( {\widehat {SB;\;\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB;\;HB}} \right) = \widehat {SBH} = 60^\circ \)

• Xét tam giác SAH có M là trung điểm của SA, SH // MI nên I là trung điểm của AH (Định lí đường trung bình)

Þ AH = 2AI = 4a

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABH ta có:

BH² = AB² + AH² − 2AB.AH.cos 60°

\( = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {4a} \right)^2} - 2\,.\,2a\,.\,4a\,.\,\frac{1}{2} = 12{a^2}\)

\( \Rightarrow BH = 2a\sqrt 3 \)

• Xét tam giác vuông SBH có: SH = BH.tan 60° = 6a

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB\,.\,AC\,.\,\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}2a\,.\,2a\,.\,\sin 120^\circ = {a^2}\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH\,.\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}\,.\,6a\,.\,{a^2}\sqrt 3 = 2{a^3}\sqrt 3 \).