Câu hỏi:
17/08/2023 758
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ ,\;\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ \). Biết góc giữa SB và đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ ,\;\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ \). Biết góc giữa SB và đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC.
Ta có: ∆SAB, ∆SAC lần lượt vuông tại B, C nên:
\(BM = CM = \frac{1}{2}SA = MS = MA\)
Suy ra hình chóp M.ABC có MA = MB = MC nên hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Dựng hình bình hành ABIC ta có: IB = AC = 2a, IC = AB = 2a
Tam giác ABC cân tại A nên AN ^ BC (trung tuyến đồng thời là đường cao) và \(\widehat {BAN} = 60^\circ \) (trung tuyến đồng thời là đường phân giác).
• Xét tam giác vuông ABC có AN = AB.cos 60° = a
Þ AI = 2AN = 2a
Do đó IA = IB = IC = 2a nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Þ MI ^ (ABC)
Trong mặt phẳng (AMI) có SH // MI (H Î AI) và SH ^ (ABC)
Suy ra HB là hình chiếu của SB lên (ABC)
Do đó \(\left( {\widehat {SB;\;\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB;\;HB}} \right) = \widehat {SBH} = 60^\circ \)
• Xét tam giác SAH có M là trung điểm của SA, SH // MI nên I là trung điểm của AH (Định lí đường trung bình)
Þ AH = 2AI = 4a
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABH ta có:
BH2 = AB2 + AH2 − 2AB.AH.cos 60°
\( = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {4a} \right)^2} - 2\,.\,2a\,.\,4a\,.\,\frac{1}{2} = 12{a^2}\)
\( \Rightarrow BH = 2a\sqrt 3 \)
• Xét tam giác vuông SBH có: SH = BH.tan 60° = 6a
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB\,.\,AC\,.\,\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}2a\,.\,2a\,.\,\sin 120^\circ = {a^2}\sqrt 3 \)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH\,.\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}\,.\,6a\,.\,{a^2}\sqrt 3 = 2{a^3}\sqrt 3 \).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tìm m để y = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 3.
Tìm m để y = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 3.
Xem đáp án »
13/07/2024
15,254
Câu 2:
Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Xem đáp án »
13/07/2024
9,033
Câu 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} \).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} \).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,379
Câu 6:
Cho hàm số: y = 3 − 5sin x, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là M và m. Tính \(\frac{M}{m}\).
Cho hàm số: y = 3 − 5sin x, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là M và m. Tính \(\frac{M}{m}\).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,475
Câu 7:
Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)?
Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)?
Xem đáp án »
13/07/2024
4,849
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận