Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 1)?

Câu hỏi:

13/07/2024 2,300

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x³ − 3(m + 2)x² + 3(m² + 4m)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 1)?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét hàm số y = x³ − 3(m + 2)x² + 3(m² + 4m)x + 1

Þ y¢ = 3x² − 6(m + 2)x + 3(m² + 4m)

Hàm số y = x³ − 3(m + 2)x² + 3(m² + 4m)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 1)

Û y¢ ≤ 0, "x Î (0; 1) và bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1)

Û 3x² − 6(m + 2)x + 3(m² + 4m), "x Î (0; 1)

Xét phương trình: 3x² − 6(m + 2)x + 3(m² + 4m) = 0 (*)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^3 - 3(m + 2)x^2 (ảnh 1)

∆¢ = 9(m + 2)² − 3.3.(m² + 4m) = 36 > 0, "m

Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) thì x₁ ≤ 0 < 1 ≤ x₂

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\1 + {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m \le 0\\1 + {m^2} + 4m - 2m - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le m \le 0\\ - 3 \le m \le 1\end{array} \right.\)

Û −3 ≤ m ≤ 0

Mà m Î ℤ Þ m Î {−3; −2; −1; 0}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để y = x³ − 3x² + mx − 1 có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² = 3.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: y¢ = 3x² − 6x + m

Để hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Û ∆¢ = 9 − 3m > 0 Û m < 3

Khi đó theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = \frac{m}{3}\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có: x₁² + x₂² = 3

Û (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 3

\( \Leftrightarrow {2^2} - \frac{{2m}}{3} = 3\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) là giá trị cần tìm.

Câu 2

Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x, y, z (học sinh) lần lượt là số học sinh của lớp 10A, 10B, 10C (x, y, z ∈ ℕ*).

Điều kiện x, y, z nguyên dương.

Ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em nên ta có phương trình x + y + z = 128.

Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn, mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn, mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn nên ta có phương trình 3x + 2y + 6z = 476

Mỗi em lớp 10A trồng được 4 cây bàng, mỗi em lớp 10B trồng được 5 cây bàng. Cả 3 lớp trồng được 375 cây bàng nên ta có phương trình 4x + 5y = 375.

Từ đó ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 128\\3x + 2y + 6z = 476\\4x + 5y = 375\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 3z = - 92\\ - y + 4z = 137\\x + y + z = 128\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 45\\y = 43\\x = 40\end{array} \right.\)

Vậy 10A có 40 học sinh, 10B có 43 học sinh, 10C có 45 học sinh.

Câu 3