Cho hình lập phương ABCD có cạnh là 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (A'MN).

Kéo dài MN cắt AB và AD lần lượt tại E và F.

Gọi H = A'E Ç BB'; K = A'F Ç DD'. Khi đó thiết diện là A'HMNK.

Ta có ABMND là hình chiếu của A’HMNK trên mặt phẳng (ABCD).

Gọi I = AC Ç MN. ta có: AC ^ BD; MN // BD Þ AC ^ MN tại I.

\(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AI\\MN \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {A'AI} \right) \Rightarrow MN \bot A'I\)

\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {A'HMNK} \right);\;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {AIA'}\)

Ta có:

• \(CM = CN = 1 \Rightarrow MN = \sqrt 2 \Rightarrow IC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

• \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow AI = 2\sqrt 2 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác vuông AA'I có: 

\(A'I = \sqrt {AA{'^2} + A{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {AIA'} = \frac{{AI}}{{A'I}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {34} }}{2}}} = \frac{3}{{\sqrt {17} }} = \cos \left( {\widehat {\left( {A'HMNK} \right);\;\left( {ABCD} \right)}} \right)\)

Ta có: \({S_{ABCD}} = 4;\;{S_{CMN}} = \frac{1}{2}\,.\,1\,.\,1 = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{ABMND}} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).

\( \Rightarrow {S_{A'HMNK}} = \frac{{{S_{ABMND}}}}{{\cos \widehat {AIA'}}} = \frac{7}{2}\,.\,\frac{{\sqrt {17} }}{3} = \frac{{7\sqrt {17} }}{6}\).