Cho hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}$. Xác định m để đường thẳng y = mx + m − 1 luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc về hai nhánh của đồ thị.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng đã cho là: 

$\frac{{x + 2}}{{2x + 1}} = mx + m - 1$

Þ x + 2 = 2mx² + (3m − 2)x + m − 1  

Û 2mx² + (3m − 3)x + m − 3 = 0.

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 3} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 3\end{array} \right.\;\;\left( {**} \right)$

  Giả sử 2 giao điểm là: A(x₁; mx₁ + m − 1) và B(x₂; mx₂ + m − 1) 

Theo đinh lí Vi-et, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{3 - 3m}}{{2m}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{{2m}}\end{array} \right.$

Đồ thị có $x = - \frac{1}{2}$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Để 2 điểm thuộc về 2 nhánh của đồ thị thì: 

$\left( {m{x_1} + m - 1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {m{x_2} + m - 1 - \frac{1}{2}} \right) < 0$

$\Leftrightarrow {m^2}{x_1}{x_2} + m\left( {m - \frac{3}{2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} < 0$

$\Leftrightarrow {m^2}\,.\,\frac{{m - 3}}{{2m}} + m\,.\,\frac{{2m - 3}}{3}\,.\,\frac{{3 - 3m}}{{2m}} + \frac{{{{\left( {2m - 3} \right)}^2}}}{4} < 0$

Û −6m + 2m² + 15m − 6m² − 9 + 4m² − 12m + 9 < 0

Û 9m > 0 Û m > 0.

Kết hợp với (**) suy ra m > 0.