Câu hỏi:

19/08/2025 2,579

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng Em cắt tia By tại F.

a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông.

c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét ΔAOE và ΔMOE có:

AO = MO = R

AE = ME (gt)

OE chung

⇒ ΔAOE = ΔMOE (c.c.c)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO}\)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ EF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

b) EF và By cắt nhau tại F, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(\widehat {MOF} = \widehat {BOF}\)

Mà \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE}\) (ΔAOE = ΔMOE)

⇒ \(\widehat {MOE} + \widehat {MOF} = \widehat {AOE} + \widehat {BOF} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {EOF} = 90^\circ \) ⇒ ΔEOF là tam giác vuông (đpcm)

c) EF và Ax là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

⇒ EA = EM mà OA = OM

⇒ OE là trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM (1)

ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAMB vuông tại M

⇒ MA ⊥ MB (2)

Từ (1), (2) suy ra OE // MB

⇒ \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\)(so le trong)

Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\)(ΔMOB cân tại O)

⇒ \(\widehat {ABM} = \widehat {MOE}\)

Lại có \(\widehat {AMB} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ ΔEMO đồng dạng với ΔAMB (g.g)

⇒ \(\frac{{EM}}{{OE}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) ⇒ EM.AB = AM.OE (3)

Chứng minh tương tự, ta có ΔFMO đồng dạng với ΔBMA (g.g)

⇒ \(\frac{{FM}}{{FO}} = \frac{{BM}}{{AB}}\) ⇒ FM.AB = BM.OF (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF (đpcm).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Nghiệm kép là gì?

Xem đáp án

Lời giải

Nghiệm kép là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Phương trình có nghiệm kép khi Δ = 0.

Câu 2

Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang (như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao 60 m.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \(\widehat {CBA} = \widehat {CBE} + \widehat {EBA} = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ \)

\(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} - \widehat {CAD} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {BCA} = 180^\circ - 55^\circ - 105^\circ = 20^\circ \)

Áp dụng định lý hàm sin cho tam giác CBA ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {CBA}}}\)

Suy ra: \(AC = \frac{{AB.\sin \widehat {CBA}}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{60.\sin 105^\circ }}{{\sin 20^\circ }} = 169,4506909\left( m \right)\)

Xét tam giác CAD vuông tại D ta có: CD = \(AC.\sin \widehat {CAD} \approx 97,193\left( m \right).\)

Câu 3