Cho hình chữ nhật ABCD tâm I, biết AB = 2a. Gọi J là trung điểm BC, đường thẳng qua I và vuông góc với AC cắt CD tại K. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho tứ giác CKIJ quay xung quanh trục CK bằng

A. $\frac{5}{6} π a^{3} .$

B. $\frac{7}{6} π a^{3} .$

\frac{5}{2} π a^{3} .

\frac{14}{3} π a^{3} .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 6) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi H là trung điểm CD nên tứ giác CHIJ là hình chữ nhật. Khi cho tứ giác CKIJ quay xung quanh trục CK ta có: Hình chữ nhật CHIJ tạo thành khối trụ có thể tích $V_{1} .$ Tam giác IHK tạo thành khối nón có thể tích $V_{2} .$

Cho hình chữ nhật ABCD tâm I, biết AB = 2a. Gọi J là trung điểm BC, đường thẳng qua I và vuông góc (ảnh 2)

Suy ra: $V = V_{1} + V_{2} .$ Ta có

$V_{1} = π . C J^{2} . C H = π a^{2} . \frac{a}{2} = \frac{1}{2} π a^{3},$

$V_{2} = \frac{1}{3} π . H I^{2} . H K = \frac{1}{3} π a^{2} . H K .$

Xét tam giác vuông IHC có $I C = \sqrt{I H^{2} + H C^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2};$

$\tan \hat{I C H} = \frac{I H}{C H} = 2 \Rightarrow I K = I C . \tan \hat{I C H} = 2. \frac{a \sqrt{5}}{2} = a \sqrt{5}$

$\Rightarrow H K = \sqrt{I K^{2} - I H^{2}} = \sqrt{5 a^{2} - a^{2}} = 2 a .$

Do vậy $V_{2} = \frac{1}{3} π . H I^{2} . H K = \frac{1}{3} π a^{2} .2 a = \frac{2}{3} π a^{3} .$

Vậy $V = V_{1} + V_{2} = \frac{1}{2} π a^{3} + \frac{2}{3} π a^{3} = \frac{7}{6} π a^{3} .$

Chọn B

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72 cm³/phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8π cm (xem hình vẽ). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu?

A. 10 cm.

B. 9 cm.

C. 8 cm.

D. 12 cm.

Lời giải

Gọi l là chiều cao của khối trụ cần tìm ta có $l = 2 \cdot \frac{4}{3} h = \frac{8}{3} h .$

Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng (ảnh 1)

Cắt chiếc đồng hồ cát theo một mặt phẳng chứa trục dọc của nó và gắn hệ trục Oxy với gốc tọa độ O là điểm giao giữa hai Parabol, mỗi đơn vị trên trục dài 1cm. Khi đó gọi B là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc ban đầu, A là điểm đo chiều cao của lượng cát lúc còn 4 cm và C là điểm nằm ngang với A trên thành Parabol phía trên như hình vẽ. Theo giả thiết $8 π = 2 π A C \Rightarrow A C = 4 \Rightarrow C (4; 4)$ suy ra (P) có phương trình $y = \frac{1}{4} x^{2} .$ Thể tích ban đầu của cát là $12, 72.10 = 127, 2 {cm}^{3} .$

Thể tích này bằng thể tích của khới tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường $(P) : y = \frac{1}{4} x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 4 y$ và các dường $y = 0; y = h$ xoay quanh trục Oy.