Một anh sinh viên T nhập học đại học vào tháng 8 năm 2020. Bắt đầu từ tháng 9 năm 2020, cứ vào ngày mồng một hàng tháng anh vay ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất cố định 0,8%/tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo. Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng 9 năm 2022 về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng 2 triệu đồng do việc làm thêm. Hỏi ngay sau ngày anh ra trường (30/6/2024) anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền?

Anh sinh viên vay hàng tháng a = 3 triệu đồng từ tháng 9/2020 đến hết tháng 8/2022, tổng cộng 24 tháng.

Cuối tháng thứ 1: $T_1=a+ar=a(1+r)$

Cuối tháng thứ 2: $T_2=T_1+a+\left(T_1+a\right)\cdot r=a\cdot {(1+r)}^2+a\cdot (1+r)$

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng $n:T_n=a\cdot {(1+r)}^n+a\cdot {(1+r)}^{n-1}+\dots +a\cdot (1+r)$

Suy ra $T_n=a\cdot (1+r)\cdot \frac{{(1+r)}^n-1}{r}$

Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng 8/2022 là

$T_{24}=3\cdot (1+0,8\%)\cdot \frac{{(1+0,8\%)}^{24}-1}{0,8\%}\simeq 79,662$ triệu.

Tính từ cuối tháng 8/2022 anh sinh viên T thiếu ngân hàng $A=79,662$ và bắt đầu trả hàng tháng m = 2 triệu từ tháng 9/2022 đến tháng 6/2024, tổng cộng được 22 tháng.

Đầu tháng 9/2022: còn nợ $A-m=79,662-2=77,662$ triệu.

Cuối tháng 9/2022: tiền nợ có lãi đến cuối tháng. $T_1=77,662(r+1)$

Đằu tháng 10/2022 sau khi trả nợ m thì còn nợ $77,662(r+1)-m$

Cuối tháng 10/2022: còn nợ $T_2=\left[\right(77,662\left)\right(r+1)-m](1+r)=77,662{(1+r)}^2-m(1+r)$

Cuối tháng 11/2022: còn nọ̣ $T_3=77,662{(1+r)}^3-m{(1+r)}^2-m(1+r)$

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng 6/2024 còn nợ

$T_{22}=77,662{(1+r)}^{22}-m{(1+r)}^{21}-m{(1+r)}^{20}-\dots -m(1+r)$

$=77,662{(1+r)}^{22}-m\cdot (1+r)\frac{{(1+r)}^{21}-1}{r}$

$=77,662\cdot {(1+0,8\%)}^{22}-2\cdot (1+0,8\%)\cdot \frac{{(1+0,8\%)}^{21}-1}{0,8\%}\simeq 46,64$triệu đồng.

Chọn B