✕

✨ Đăng kí VIP để truy cập không giới hạn. Đăng ký ngay

Câu hỏi:

18/01/2024 352

Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là $\sqrt{2},$ trong đó ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính bán kính đáy của hình nón.

A. $1 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{6}}{3} .$

B. $1 + \sqrt{6} + \frac{2 \sqrt{6}}{3} .$

C. $1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3} .$

D. $1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 3) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Xét trường hợp tổng quát là bốn mặt cầu có bán kính r.
Gọi tâm các mặt cầu là S, A, B, C, trong đó S là tâm của mặt cầu trền cùng. Do các mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau nên S.ABC là chóp đều cạnh 2r.

Gọi I là tâm của tam giác ABC, khi đó SI vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ và $A I = \frac{2 r \sqrt{3}}{3} .$
Tam giác SAI$ vuông tại I, có $S I = \sqrt{S A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{4 r^{2} - {(\frac{2 r \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{2 r \sqrt{6}}{3} .$
Kẻ đường sinh JP của hình nón tiếp xúc với hai mặt cầu tâm S và tâm A lần lượt tại H, K.
Ta có $Δ S A I ~ Δ J S H$ (g-g) nên $\frac{S J}{S A} = \frac{S H}{A I}$ $\Rightarrow S J = \frac{S A . S H}{A I} = 2 r . r . \frac{3}{2 r \sqrt{3}} = r \sqrt{3} .$
Chiều cao của khối nón là
$h = J S + S I + I O = r \sqrt{3} + \frac{2 r \sqrt{6}}{3} + r = r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$
Bán kính khối nón là $R = O P = J O . \tan \hat{S J H}$
$\Leftrightarrow R = h . \tan A S I = r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}) . \frac{A I}{S I}$
$= r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \frac{2 r \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 r \sqrt{6}} = r (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}) \frac{1}{\sqrt{2}} .$
Áp dụng với $r = \sqrt{2}$ ta được $R = \sqrt{2} . \frac{1}{\sqrt{2}} . (1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}) = 1 + \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3} .$

Chọn C

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (x^{2} - 3) .$

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải

Từ đồ thị hàm số ta có

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array} .

Ta có

g^{'} (x) = 2 x f^{'} (x^{2} - 3)

\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2} - 3) = 0 \end{array}

Media VietJack

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 3 = - 2 \\ x^{2} - 3 = 1 (nghiem kép) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 (nghiem kép) \end{array} .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn B

Câu 2

Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc và cùng vạch xuất phát, đi cùng chiều trên một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường parabol và đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng như hình vẽ bên. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? (Biết rằng xe A sẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0).

A. $\frac{250}{3}$ m

B. 270m

C. 200m

D. $\frac{110}{3}$ m

Lời giải

Biểu đồ biểu diễn vận tốc của xe A là

(P) : v_{A} = a t^{2} + b t + c (a \neq 0)

đi qua điểm

(0; 0); (3; 60); (4; 0) \Rightarrow v_{A} = - 20 t^{2} + 80 t .

Biểu thức biểu diễn vận tốc của xe B là đường thẳng

Δ : v_{B} = m t + n (m \neq 0)

đi qua diểm

(0; 0); (3; 60) \Rightarrow v_{B} = 20 t .

Ta có

v_{A} = - 20 t^{2} + 80 t = 0 \Rightarrow t = 4

nên xe A dừng lại sau giầy thứ 4.
Do đó quãng đường xe A đi được sau 4 giây là

S_{A} = \int_{0}^{4} (- 20 t^{2} + 80 t) d t = \frac{640}{3} (m) .

Quãng đường xe B đi được sau 5 giây đầu là

S_{B} = \int_{0}^{5} (20 t) d t = 250 (m) .

Khoảng cách giữa hai xe sau 5 giây kể từ lúc xuất phát là

Δ S = |S_{A} - S_{B}| = \frac{110}{3} (m) .

Chọn D

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, tam giác ABD đều cạnh $a \sqrt{2} .$ SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a .$ Hãy tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD).

A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 90°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức $f (v) = \frac{290, 4 v}{0, 36 v^{2} + 13, 2 v + 264}$ (xe/giây), trong đó u(km/h) là vận tốc trung bình của các xe ô tô khi vào đường hầm. Gọi v₀ vận tốc trung bình của các xe ô tô khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất. Giá trị của v₀ xấp xỉ giá trị nào sau đây nhất?

A. 27,08 km/h.

B. 27,06 km/h.

C. 27,09 km/h.

D. 27 km/h.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 6}{- 2} = \frac{3}{z + 2}$ và $d_{2} : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{- 2} .$ Phương trình mặt phẳng (P) chứa $d_{1}$ và $(P)$ song song với đường thẳng $d_{2}$ là

A. $(P) : x + 5 y + 8 z - 16 = 0$

B. $(P) : x + 5 y + 8 z + 16 = 0$

C. $(P) : x + 4 y + 6 z - 12 = 0$

D. $(P) : 2 x + y - 6 = 0$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh CD, điểm $E \in S A$ sao cho SE = a, cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (BME) bằng

A. $\frac{3}{2 \sqrt{15}} .$

B. $\frac{1}{\sqrt{15}} .$

C. $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{15}} .$

D. $\frac{\sqrt{14}}{3 \sqrt{15}} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{1} thỏa mãn $f^{'} (x) = \frac{1}{x - 1},$ f(0) = 2017, f(2) = 2018. Tính S = f(3) – f(−1)..

A. S = ln 4035.

B. S = 4.

C. S = ln 2.

D. S = 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »