Cho hình bên, trong đó DE//BC, AD = 12 cm, DB = 18 cm và CE = 30 cm Độ dài AC là

a) Hàm số biểu diễn số tiền lời (hoặc lỗ) K của nhà may thu được khi bán t chiếc áo là: $K=300000t-30000000$ (đồng) (với $0\le t\le 200).$ 

Để nhà may thu hồi được vốn ban đầu thì $K=\mathrm{0,}$ ta thay vào công thức $K=300000t-30000\mathrm{000,}$ ta được:

$0=300000t-30000\mathrm{000,}$ suy ra $t=100.$

Vậy cần phải bán ra được 100 chiếc áo mới thu hồi được vốn ban đầu.

b) Để nhà may lời được $6000000$ thì $K=6000\mathrm{000,}$ thay vào công thức $K=300000t-30000\mathrm{000,}$ ta được:

$6000000=300000t-30000\mathrm{000,}$ suy ra $t=120.$

Vậy cần phải bán ra được 120 chiếc áo mới lời được 6 000 000 đồng.

a) Xét $\Delta ABM$ có MD là đường phân giác của $\widehat{AMB}$ nên $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}$ (1) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét $\Delta ACM$ có ME là đường phân giác của $\widehat{AMC}$ nên $\frac{MA}{MC}=\frac{EA}{EC}$ (2) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do AM là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên M là trung điểm của BC hay $MB=MC=\frac{1}{2}BC.\left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3) ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}.$ 

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có $\frac{DA}{DA+DB}=\frac{EA}{EA+EC},$ hay $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ suy ra $AD\cdot AC=AE\cdot AB.$

Xét $\Delta ABC$ có $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ theo định lí Thalès đảo ta có $DE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC.$

b) Xét $\Delta ABM$ có $DI\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}.$

Xét $\Delta ACM$ có $IE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{IE}{MC}=\frac{AI}{AM}.$

Do đó $\frac{DI}{BM}=\frac{IE}{MC}.$ 

Mà $MB=MC$ (chứng minh ở câu a) nên $DI=IE,$ hay I là trung điểm của DE

c) Ta có $MB=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 30=15\text{ cm}.$

Theo câu a, ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB},$ suy ra $\frac{DA}{DA+DB}=\frac{MA}{MA+MB}=\frac{10}{10+15}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.$

Do đó $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Xét $\Delta ABC$ có $DE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Suy ra $DE=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}\cdot 30=12\text{ cm}.$

d) Để DE là đường trung bình của $\Delta ABC$ thì D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

Xét $\Delta ABM$ có MD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại M. Suy ra MA = MB (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được MA = MC

Do đó $MA=MB=MC=\frac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta ABC$ có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC nên $\Delta ABC$ vuông tại A

Vậy $\Delta ABC$ phải là tam giác vuông tại A thì DE là đường trung bình của tam giác đó.