Cho $\Delta ABC,$ trung tuyến AM đường phân giác của $\widehat{AMB}$ cắt AB ở D đường phân giác của $\widehat{AMC}$ cắt AC ở E.

a) Chứng minh rằng $AD\cdot AC=AE\cdot AB$ và $DE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC.$

b) Gọi I là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng I là trung điểm của DE.

c) Tính DE, biết $BC=30\text{ cm}$ và $AM=10\text{ cm}.$

d) Tam giác ABC phải thêm điều kiện gì để DE là đường trung bình của tam giác đó?

a) Xét $\Delta ABM$ có MD là đường phân giác của $\widehat{AMB}$ nên $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}$ (1) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét $\Delta ACM$ có ME là đường phân giác của $\widehat{AMC}$ nên $\frac{MA}{MC}=\frac{EA}{EC}$ (2) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do AM là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên M là trung điểm của BC hay $MB=MC=\frac{1}{2}BC.\left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3) ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}.$ 

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có $\frac{DA}{DA+DB}=\frac{EA}{EA+EC},$ hay $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ suy ra $AD\cdot AC=AE\cdot AB.$

Xét $\Delta ABC$ có $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ theo định lí Thalès đảo ta có $DE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC.$

b) Xét $\Delta ABM$ có $DI\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}.$

Xét $\Delta ACM$ có $IE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{IE}{MC}=\frac{AI}{AM}.$

Do đó $\frac{DI}{BM}=\frac{IE}{MC}.$ 

Mà $MB=MC$ (chứng minh ở câu a) nên $DI=IE,$ hay I là trung điểm của DE

c) Ta có $MB=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 30=15\text{ cm}.$

Theo câu a, ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB},$ suy ra $\frac{DA}{DA+DB}=\frac{MA}{MA+MB}=\frac{10}{10+15}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.$

Do đó $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Xét $\Delta ABC$ có $DE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Suy ra $DE=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}\cdot 30=12\text{ cm}.$

d) Để DE là đường trung bình của $\Delta ABC$ thì D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

Xét $\Delta ABM$ có MD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại M. Suy ra MA = MB (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được MA = MC

Do đó $MA=MB=MC=\frac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta ABC$ có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC nên $\Delta ABC$ vuông tại A

Vậy $\Delta ABC$ phải là tam giác vuông tại A thì DE là đường trung bình của tam giác đó.