Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB và AD Vẽ tia Dx cắt AC, AB, BC lần lượt tại I, M, N Gọi J là điểm đối xứng với D qua I Chứng minh:

a) $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}.$

Ta có $\widehat{ABC}$ là góc ngoài của $\Delta BHC$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{BHC}+\widehat{BCH}=90°+\widehat{BCH}$(4)

Vì ABCD là hình bình hành nên $BC\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AD$ và $AB=CD$ (tính chất hình bình hành)

Mà $CK\perp AD$ nên $CK\perp BC$ nên $\widehat{BCK}=90°.$

Do đó $\widehat{KCH}=\widehat{BCK}+\widehat{BCH}=90°+\widehat{BCH}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{KCH}.$

Theo câu a, $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}$ mà $AB=CD$ nên $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{BA}.$

Xét $\Delta CHK$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat{KCH}=\widehat{ABC}$ và $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{BA}$

Do đó $\Delta CHK\backsim \Delta BCA$ (c.g.c).

Kẻ $BE\perp AC$ tại E, $\left(E\in AC\right).$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có: $\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90°$ và $\widehat{HAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta AEB\backsim \Delta AHC$ (g.g).

Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AB\cdot AH=AC\cdot AE$ (6)

Xét $\Delta BCE$ và $\Delta CAK$ có:

$\widehat{BEC}=\widehat{CKA}=90°$ và $\widehat{BCE}=\widehat{CAK}$ (hai góc so le trong, $BC\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}DA)$

Do đó $\Delta BCE\backsim \Delta CAK$ (g.g).

Suy ra $\frac{BC}{CA}=\frac{CE}{AK}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $BC\cdot AK=AC\cdot CE$

Mà $BC=AD$ nên $AD\cdot AK=AC\cdot CE$ (7) 

Từ (6) và (7) suy ra: $AB\cdot AH+AD\cdot AK=AC\cdot AE+AC\cdot CE$

Hay $AB\cdot AH+AD\cdot AK=AC\left(AE+CE\right)=A{C}^2.$

Do ABCD là hình bình hành nên $AB\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}CD;AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC$ (tính chất hình bình hành)

Hay $AM\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}CD;AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}NC.$

Vì $AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}NC$ nên $\Delta INC\backsim \Delta IDA,$ do đó $\frac{IN}{ID}=\frac{IC}{IA}$ (tỉ số cạnh tương ứng) (8)

Vì $AM\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}DC$ nên $\Delta IDC\backsim \Delta IMA,$ do đó $\frac{ID}{IM}=\frac{IC}{IA}$ (tỉ số cạnh tương ứng) (9)

Từ (8) và (9) suy ra $\frac{IN}{ID}=\frac{ID}{IM},$ nên $IM\cdot IN=I{D}^2.$