Cho $a_1;a_2;a_3;\dots ;a_{2023};a_{2024}$ là 2024 số thực thỏa mãn $a_k=\frac{2k+1}{{\left(k^2+k\right)}^2}$ với $k\in \left\{1;2;3;\dots ;2024\right\}.$ Tính tổng $S_{2024}=a_1+a_2+a_3+\dots +a_{2024}.$

a) Ta có ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (1) (tính chất hình bình hành)

Mà $\widehat{HBC}=180°-\widehat{ABC}$ (2) (hai góc kề bù)

    $\widehat{KDC}=180°-\widehat{ADC}$   (3) (hai góc kề bù)

Từ (1),(2), (3) suy ra $\widehat{HBC}=\widehat{KDC}.$

Xét $\Delta CHB$ và $\Delta CKD$ có:

$\widehat{BHC}=\widehat{DKC}=90°$ và $\widehat{HBC}=\widehat{KDC}$

Do đó $\Delta CHB\backsim \Delta CKD$ (g.g).

Suy ra $\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}$ (tính chất tỉ lệ thức).

a) Ta có:

⦁ $x^2-2x=x\left(x-2\right).$

⦁ $\frac{x+2}{x}-\frac{x}{x-2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{x^2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x^2-4-x^2}{x\left(x-2\right)}=\frac{-4}{x\left(x-2\right)}.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức P là $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ne 0\\ x-2\ne 0\\ \frac{x+2}{x}-\frac{x}{x-2}\ne 0\end{array}\right.,$ hay $\left\{\begin{array}{l}x\left(x-2\right)\ne 0\\ x\ne 2\\ \frac{-4}{x\left(x-2\right)}\ne 0\end{array}\right.,$ tức là $\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 2\end{array}\right..$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là $x\ne 0$ và $x\ne 2$