Có thể tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên không?

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline{x}=\frac{13\cdot \mathrm{19,25}+45\cdot \mathrm{19,75}+24\cdot \mathrm{20,25}+12\cdot \mathrm{20,75}+6\cdot \mathrm{21,25}}{100}=\mathrm{20,015}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{100}$[13 ∙ (19,25)² + 45 ∙ (19,75)² + 24 ∙ (20,25)²

                                     + 12 ∙ (20,75)² + 6 ∙ (21,25)²] – (20,015)² ≈ 0,277.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{0,277}}\approx \mathrm{0,526}$.

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

Do đó, $Q_1=\frac{\mathrm{46,7}+\mathrm{46,8}}{2}=\mathrm{46,75}$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

Do đó, $Q_3=\frac{\mathrm{54,8}+\mathrm{55,6}}{2}=\mathrm{55,2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline{x}=\frac{42+\mathrm{43,4}+\mathrm{43,4}+\mathrm{46,5}+\mathrm{...}+\mathrm{60,3}+\mathrm{61,1}}{20}=\mathrm{50,945}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{20}$[42² + (43,4)² + (43,4)² + … + (60,3)² + (61,1)²] – (50,945)² ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{32,2}}\approx \mathrm{5,675}$.

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R' =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [42; 46), x₄; …; x₁₀ ∈ [46; 50), x₁₁; …; x₁₄ ∈ [50; 54),

          x₁₅; …; x₁₇ ∈ [54; 58), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)$ ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_1=46+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}\cdot \left(50-46\right)=\frac{330}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_3=54+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+7+4\right)}{3}\cdot \left(58-54\right)=\frac{166}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{166}{3}-\frac{330}{7}=\frac{172}{21}$≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}^{\text{'}}=\frac{3\cdot 44+7\cdot 48+4\cdot 52+3\cdot 56+3\cdot 60}{20}=\mathrm{51,2}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S'² = $\frac{1}{20}$(3 ∙ 44² + 7 ∙ 48² + 4 ∙ 52² + 3 ∙ 56² + 3 ∙ 60²) – (51,2)² = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^{\text{'}}=\sqrt{{S^{\text{'}}}^2}=\sqrt{\mathrm{26,56}}=\frac{2\sqrt{166}}{5}\approx \mathrm{5,154}$.