Tính các giới hạn sau:

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + n - {n^2}} \right).\]  b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{x}.\]

Theo quy luật trang trí một hình vuông trên thì ta có các tam giác được tô màu sẽ là tam giác vuông cân.

Gọi ${u_n}$ là diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ $n$, với $n \in {\mathbb{N}^*}.$

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ đầu tiên là $\frac{4}{2} = 2\,\,\,\left( {\text{m}} \right).$ Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ đầu tiên là

${u_1} = 2\left( {\frac{1}{2}.2.2} \right) = 4$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right){\text{.}}$

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ hai là $\frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2}} \, = \sqrt 2 \,\,\left( {\text{m}} \right).$ Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ hai là

 ${u_2} = 2\left( {\frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2 } \right) = 4.\frac{1}{2}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right){\text{.}}$

Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ ba là\[\frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 1\,\,\left( {\text{m}} \right).\] Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ ba là

${u_3} = 2\left( {\frac{1}{2}.1.1} \right) = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right){\text{.}}$

Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 4$ và công bội $q = \frac{1}{2}.$

Ta có công thức số hạng tổng quát ${u_n} = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right){\text{.}}$

Tổng diện tích của các tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ 10 là:

${S_{10}} = \frac{{4\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1\,\,023}}{{128}}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right){\text{.}}$

Vậy số tiền nước sơn là $\frac{{1\,\,023}}{{128}}.80\,\,000 = 639\,\,375$ đồng.