Cho hình chóp $S.ABC$, gọi $M,\,\,P$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,SC$ và $SB$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $MP$ và song song với $AC$ và cắt các cạnh $SA,\,\,BC$ tại $N,\,\,Q.$

a) Chứng minh đường thẳng $BC$ song sòng với mặt phẳng $(IMP)$.

b) Xác định thiết diện của $(\alpha )$ và hình chóp. Thiết diện này là hình gì?

c) Tìm giao điểm của đường thẳng $CN$ và mặt phẳng $(SMQ)$.

a) Ta có $IP$ là đường trung bình của tam giác $SBC$ nên $IP\,{\text{//}}\,BC$.

Mà  $IP \subset (IMP)$ nên \[BC\,\,{\text{//}}\,(IMP)\].

b) Ta có $\left\{ \begin{gathered}

M \in (\alpha ) \cap (ABC) \hfill \\

(ABC) \supset AC\,{\text{//}}\,(\alpha ) \hfill \\

\end{gathered} \right.$.

Khi đó $(\alpha ) \cap (ABC) = MQ\,{\text{//}}\,AC,\,\,Q \in BC$.

Mặt khác c$\left\{ \begin{gathered}

P \in (\alpha ) \cap (SAC) \hfill \\

(SAC) \supset AC\,{\text{//}}\,(\alpha ) \hfill \\

\end{gathered} \right.$

Suy ra $(\alpha ) \cap (SAC) = PN\,{\text{//}}\,AC,\,\,N \in SA$.

Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành $MNPQ$.

c) Chọn mặt phẳng $(SAC)$ chứa $NC$. Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SMQ)$:

Ta có $\left\{ \begin{gathered}

S \in (SAC) \cap (SMQ) \hfill \\

AC\,{\text{//}}\,MQ,\,\,AC \subset (SAC),\,\,MQ \subset (SMQ) \hfill \\

\end{gathered} \right.$.

Do đó \[(SAC) \cap (SMQ) = Sx\,{\text{//}}\,AC\,{\text{//}}\,MQ\].

Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $J = CN \cap Sx$.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}

J \in CN \hfill \\

J \in Sx \subset (SMQ) \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow J = CN \cap (SMQ)$.

Vậy $J$ là giao điểm của đường thẳng $CN$ và mặt phẳng $(SMQ)$.