Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán kính 8 cm. Ngân cần cắt từ tấm giấy màu này ra một tấm giấy hình chữ nhật có một cạnh thuộc đường kính của nửa hình tròn (xem hình dưới) sao cho diện tích của tấm bìa được cắt ra là lớn nhất. Giá trị lớn nhất của diện tích tấm bìa đó là bao nhiêu centimét vuông?
Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán kính 8 cm. Ngân cần cắt từ tấm giấy màu này ra một tấm giấy hình chữ nhật có một cạnh thuộc đường kính của nửa hình tròn (xem hình dưới) sao cho diện tích của tấm bìa được cắt ra là lớn nhất. Giá trị lớn nhất của diện tích tấm bìa đó là bao nhiêu centimét vuông?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là độ dài một cạnh của tấm giấy hình chữ nhật được cắt ra (cạnh thuộc đường kính) và \(y\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là độ dài cạnh còn lại \((0 < x < 16,\,\,0 < y < 8)\). Ta có:
\({\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {y^2} = {8^2} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{4}\left( {256 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\sqrt {256 - {x^2}} \).
Diện tích của tấm giấy hình chữ nhật đó là:
\(S = xy = x \cdot \frac{1}{2}\sqrt {256 - {x^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2}\left( {256 - {x^2}} \right)} \) (cm2).
Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {256 - {x^2}} \right)\) với \(0 < x < 16\), có \(f'\left( x \right) = 512x - 4{x^3}\) nên \(f'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 8\sqrt 2 \).
Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) bằng \(\frac{1}{2}\sqrt {f\left( {8\sqrt 2 } \right)} = 64\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Đáp số: \(64\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi độ dài cạnh đáy của thùng chứa gạo là \(x\) (m, \(x > 0\)) và chiều cao của thùng chứa gạo là \(h\) (m, \(h > 0\)).
Thể tích của thùng là \(V = {x^2} \cdot h = 2\), suy ra \(h = \frac{2}{{{x^2}}}\) (m).
Khi đó, diện tích tôn cần sử dụng là: \[S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x \cdot \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{8}{x}\] (m2).
Chi phí để mua nguyên liệu là: \(T = 100{x^2} + 50 \cdot \frac{8}{x} = 100{x^2} + \frac{{400}}{x}\) (nghìn đồng).
Xét hàm số \(T\left( x \right) = 100{x^2} + \frac{{400}}{x}\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(T'\left( x \right) = 200x - \frac{{400}}{{{x^2}}} = \frac{{200{x^3} - 400}}{{{x^2}}}\); \(T'\left( x \right) = 0\) khi \(x = \sqrt[3]{2}\).
Bảng biến thiên của hàm số \(T\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy, \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(x = \sqrt[3]{2}\).
Vậy ông Hùng cần đóng thùng chứa gạo với cạnh đáy bằng \(\sqrt[3]{2} \approx 1,3\) m để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất.
Đáp số: \(1,3\).
Lời giải
Ta có \(AC = BD = \sqrt {{8^2} + {{12}^2}} = 4\sqrt {13} \), \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} - {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}} = 2\sqrt {23} \),
\(\sin \widehat {SCO} = \frac{{SO}}{{SC}} = \frac{{2\sqrt {23} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {23} }}{6}\).
Gọi \(P\) là độ lớn của trọng lực xe và khung sắt nâng.
Ta có \(P = \left( {1\,500 + 300} \right) \cdot 9,8 = 17\,640\) (N).
Gọi \(F\) là độ lớn của lực căng trên mỗi sợi cáp.
Ta chứng minh được \(F\sin \widehat {SCO} = \frac{P}{4}\), suy ra \(F = \frac{P}{{4\sin \widehat {SCO}}} = \frac{{17\,640}}{{4 \cdot \frac{{\sqrt {23} }}{6}}} \approx 5\,517\) (N).
Đáp số: \(5\,517\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo